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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 4.3 - Ex. 41

39-44. Obtenha um gráfico da função e identifique a localização de todos os pontos de extremos relativos e de inflexão. Confira seu trabalho com um recurso gráfico.

41. 3 cos ⁡ x + sin ⁡ x

Passo 1

Então pessoal, esse tipo de questão é bastante característico do conteúdo de máximos e mínimos, então vamos resolver a questão passo a passo e com cuidado para arrasarmos nas próximas questões com facilidade, ok? Show, bora lá!

A função que nos foi dada é a seguinte:

f x = 3 cos ⁡ x + sin ⁡ x

Caso não se lembre, para identificarmos os pontos de extremos relativos de uma função devemos fazer uma análise dos pontos críticos da mesma, isto é, analisar os pontos em que f ' x = 0 ou os pontos em que f ' x não existe! Ademais, para identificarmos os pontos de inflexão devemos fazer a mesma análise dos extremos, mas agora para f ' ' x = 0 , ok? Vamo que vamo!

Passo 2

Derivando a nossa função, teremos:

f ' x = - 3 sin ⁡ x + cos ⁡ x

Se igualarmos isso a zero, obteremos a seguinte relação:

- 3 sin ⁡ x + cos ⁡ x = 0

cos ⁡ x = 3 sin ⁡ x ⇒ sin ⁡ x cos ⁡ x = 1 3

Ou seja:

tan ⁡ x = 3 3

Como a questão não especifica um intervalo, vamos adotar os valores de x para n voltas, beleza? De acordo com o que estudamos em trigonometria, quais são os ângulos que satisfazem essa igualdade? São esses aqui, ó:

x = π 6 + n π

Então esses são os pontos de extremo relativo da nossa função, galera!

Passo 3

Os pontos de inflexão de uma função são os pontos no qual a função muda de concavidade, ou seja, sai de f ' ' x > 0 e vira f ' ' x < 0 e vice-versa! Derivando a nossa derivada, teremos:

f ' ' x = - 3 cos ⁡ x - sin ⁡ x

Se igualarmos a zero, obteremos a seguinte relação:

- 3 cos ⁡ x - sin ⁡ x = 0

- 3 cos ⁡ x = sin ⁡ x ⇒ sin ⁡ x cos ⁡ x = - 3

Ou seja:

tan ⁡ x = - 3

Como a questão não especifica um intervalo, vamos adotar os valores de x para n voltas, beleza? De acordo com o que estudamos em trigonometria, quais são os ângulos que satisfazem essa igualdade? São esses aqui, ó:

x = 2 π 3 + n π

E esses são nossos pontos de inflexão, pessoal! 😉

Esboçando o gráfico da função para conferirmos nosso trabalho, teremos algo assim:

E está aí nossa resolução, guys!

Resposta

Pontos de extremos relativos: x = π 6 + n π ;

Pontos de inflexão: x = 2 π 3 + n π ;

Gráfico da função:

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