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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.10 - Ex. 58

58. Obtenha uma fórmula similar a do Exercício 57 para D x n ( c o s x ) .

Passo 1

Para achar uma fómula similar a do exercício 57, vamos derivar a função c o s x e ver como el se comporta e analaiser a parti de qual ordem da derivada ela se repete

Passo 2

Vamos derivar a função c o s x pelo menos 8 vezes para ver se identificamos um padrão.

D x 1 c o s x = - s e n x D x 2 c o s x = - c o s x

D x 3 c o s x = s e n x D x 4 c o s x = c o s x

D x 5 c o s x = - s e n x D x 6 c o s x = - c o s x

D x 7 c o s x = s e n x D x 8 c o s x = c o s x

Passo 3

Nas deriadas do passo 2 podemos reparar que o resultado se repete a cada 4 derivadas, de forma mais matemática o valor se repete a cada 4k derivadas.

Passo 4

Assim podemos escrever a derivada de ordem n de c o s x da seguinte forma:

D x n c o s x = c o s x     s e   n = 4 k - s e n x     s e   n = 4 k + 1 - c o s x     s e   n = 4 k + 2 s e n x     s e   n = 4 k + 3

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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