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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.7 - Ex. 4

Seja f x = x 3 + 3 x 2 + 1 .

  1. Estude o sinal de f ' x .
  2. Calcule lim x → + ∞ ⁡ f x e lim x → - ∞ ⁡ f x .
  3. Utilizando as informações acima, faça um esboço do gráfico de f .

Passo 1

  1. Vamos analisar a função, ela é um polinômio, vamos ter então que usar a fórmula da derivada de polinômio e da função constante para achar f ' x :

    2. Do polinômio:

    x n ' = n x n - 1

    Da função constante:

    c ' = 0

    Agora é só aplicar, vamos lá?

    f ' x = x 3 ' + 3 x 2 ' + 1 ' = 3 x 3 - 1 + 3 ⋅ 2 ⋅ x 2 - 1 + 0 = 3 x 2 + 6 x

    Passo 2

    Vamos agora estudar o sinal, como achamos uma equação do segundo grau, temos que a = 3 , como a > 0 então a concavidade da parábola é voltada pra cima.

    Vamos então achar as raízes, usando Bhaskara, onde temos que a = 3 , b = 6 e c = 0 :

    x = - b ± b 2 - 4 ⋅ a ⋅ c 2 a = - 6 ± 6 2 - 4 ⋅ 3 ⋅ 0 2 ⋅ 3 = - 6 ± 6 2 6 = - 6 ± 6 6

    x 1 = - 6 + 6 6 = 0

    x 2 = - 6 - 6 6 = - 12 6 = - 2

    As raízes ficam no gráfico da seguinte forma:

    Temos então que f ' x > 0 quando:

    - ∞ , - 2 e 0 , + ∞

    E f ' x < 0 :

    - 2,0

    Passo 3

  2. Vamos calcular os limites:

    3. lim x → + ∞ ⁡ x 3 + 3 x 2 + 1 = lim x → + ∞ ⁡ x 3 1 + 3 x 2 + 1 x 3 = + ∞ 1 + 0 + 0 = + ∞

    lim x → - ∞ ⁡ x 3 + 3 x 2 + 1 = lim x → - ∞ ⁡ x 3 1 + 3 x 2 + 1 x 3 = - ∞ 1 + 0 + 0 = - ∞

    Passo 4

  3. Vamos fazer um esboço do gráfico da função utilizando as raízes e atribuindo alguns pontos aleatórios, assim temos:

Resposta

  1. f ' x > 0 em - ∞ , - 2 e 0 , + ∞ , f ' x < 0 em - 2,0  

  2. lim x → + ∞ ⁡ x 3 + 3 x 2 + 1 = + ∞ e lim x → - ∞ ⁡ x 3 + 3 x 2 + 1 = - ∞

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