Enunciado

Seja f x = sen ⁡ x + cos ⁡ x , 0 ≤ x ≤ 2 π .

  1. Estude o sinal de f ' x .
  2. Faça um esboço do gráfico de f .

Passo 1

  1. Vamos analisar a função, vamos ter então que usar a fórmula da função trigonométrica para achar f ' x :
  2. sen ⁡ x ' = cos ⁡ x

    cos ⁡ x ' = - sen ⁡ x

    Agora é só aplicar, vamos lá?

    f ' x = sen ⁡ x + cos ⁡ x ' = sen ⁡ x ' + cos ⁡ x ' = cos ⁡ x + - sen ⁡ x = cos ⁡ x - sen ⁡ x

    Passo 2

    Vamos agora estudar o sinal de f ' x :

    Temos então que f ' x > 0 quando:

    cos ⁡ x - sen ⁡ x > 0 → cos ⁡ x > sen ⁡ x

    Podemos ver no círculo trigonométrico abaixo que cos ⁡ x > sen ⁡ x do ângulo 0 até chegar a π 4 , e acontece novamente de 5 π 4 até 2 π e cos ⁡ x < sen ⁡ x entre π 4 e 5 π 4 :

    Assim, f ' x > 0 quando:

    0 , π 4 e 5 π 4 , 2 π

    E f ' x < 0 :

    π 4 , 5 π 4

    Passo 2

  3. Vamos fazer um esboço do gráfico da função:

Resposta

  1. f ' x > 0 em 0 , π 4 e 5 π 4 , 2 π , f ' x < 0 em π 4 , 5 π 4

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