Enunciado

60. Como tossimos.

a. Quando tossimos, a traqueia se contrai e aumenta a velocidade do ar que passa. Isso levanta questões sobre quanto ela deveria se contrair para maximizar a velocidade e se ela realmente se contrai tanto assim quando tossimos. Considerando algumas hipóteses razoáveis sobre a elasticidade da traqueia e de como a velocidade do ar próximo às paredes é reduzida pelo atrito, a velocidade média v do fluxo de ar pode ser modelada pela equação:

v = c r 0 - r r 2 c m s , r 0 2 ≤ r ≤ r 0 ,

onde r 0 é o raio, em centímetros, da traqueia em repouso e c é uma constante positiva, cujo valor depende em parte do comprimento da traqueia.

Demonstre que v é máximo quando r = 2 3 r 0 ; ou seja, quando a traqueia está contraída em cerca de 33 % . O impressionante é que imagens obtidas com raios X confirmam que a traqueia se contrai nessa proporção durante a tosse.

b. Sendo r 0 = 0,5 e c = 1 , trace o gráfico de v no intervalo 0 ≤ r ≤ 0,5 . Compare o que você observa com a alegação de que v é máximo quando   r = 2 3 r 0 .

Passo 1

a) Então pessoal, para descobrirmos quando v é máximo, teremos que utilizar os conceitos de máximos e mínimos, ok? Sendo assim, temos que derivar a equação de v e igualar a zero em seguida, saca só:

v = c r 0 . r 2 - c r ³

v ' = 2 c r 0 . r - 3 c r 2 = c r ( 2 r 0 - 3 r )

c r 2 r 0 - 3 r = 0

A solução para esse produto é a seguinte:

r = 0   o u   r = 2 3 r 0

Como r = 0 não está no domínio, temos que, de fato, 2 3 r 0 é o ponto para que v seja máximo.

Passo 2

b) Substituindo os pontos cedidos pelo enunciado, teremos uma equação dessa forma:

v = 0,5 r 2 - r ³

Plotando o gráfico, teremos:

Pelo gráfico notamos que, de fato, r = 2 3 r 0 é o ponto para que v é máximo. Para r 0 = 0,5 , r resulta em 0,33 33 , exatamente o máximo absoluto dentro do intervalo em questão!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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