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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 1.3 - Ex. 61

61. Lei dos Senos A lei dos senos diz que se a, b e c são os lados opostos aos ângulos A, B e C em um triângulo, então

sen ⁡ A a = sen ⁡ B b = sen ⁡ C c

Use as figuras a seguir e a identidade sen ⁡ ( π - θ ) = sen ⁡ θ , se necessário, para deduzir a lei.

Passo 1

Para conseguirmos deduzir a Lei dos senos, precisamos encontrar relações trigonométricas, usando o seno, nos triângulos. Depois podemos observar o que devemos fazer com essas relações, até que a gente encontre a Lei.

Podemos calcular o seno de B e de C da primeira imagem facilmente:

sen ⁡ B = h c

sen ⁡ C = h b

Na segunda imagem:

sen ⁡ B = h c

Já o seno de C podemos calcular com a identidade fornecida no enunciado, pois da imagem a gente sabe que

sen ⁡ ( π - C ) = h b

logo

sen ⁡ C = h b

Então, não importa o tipo de triângulo, essas relações sempre são válidas:

sen ⁡ B = h c

sen ⁡ C = h b

Isolando o h e igualando as equações temos:

c sen ⁡ B = b sen ⁡ C

sen ⁡ B b = sen ⁡ C c

Passo 2

Se a reta, de tamanho h , for traçada perpendicularmente ao lado de tamanho b ou c , chegaremos analogamente as relações:

sen ⁡ A a = sen ⁡ C c , se a reta for perpendicular ao lado b

e

sen ⁡ A a = sen ⁡ B b , se a reta for perpendicular ao lado c

Igualando as equações chegamos na Lei dos senos:

sen ⁡ A a = sen ⁡ B b = sen ⁡ C c

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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