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Enunciado

Cálculo Numérico - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 9.1 - Ex. 36

Use o método de Euler com o passo especificado para calcular o valor da solução no ponto dado x * . Determine o valor da solução exata em x *

y ' = 2 y 2 ⋅ x - 1 ,     y 2 = - 1 2 ,     d x = 0.1 ,     x * = 3

Passo 1

Primeiramente vamos calcular o valor exato da equação resolvendo a EDO com o ponto inicial dado. Assim, teremos

y ' = 2 y 2 ⋅ x - 1 ,    

d y d x = 2 y 2 ⋅ x - 1 → d y 2 y 2 = x - 1   d x        

Integrando ambos os lados vamos obter

∫ d y 2 y 2 = ∫ x - 1 d x

- 1 2 y = x 2 2 - x + C

- 1 y = x 2 - 2 x + C → 1 y = 2 x - x 2 + C

Utilizando o ponto inicial dado y 2 = - 1 2 teremos

- 1 1 2 = 2 ⋅ 2 - 2 2 + C → C = - 2

∴ 1 y = 2 x - x 2 - 2

Calculando o valor exato para x * = 3 vamos obter

1 y = 2 ⋅ 3 - 3 2 - 2

1 y = 6 - 9 - 2 → y e x a t o =   - 0.2  

Passo 2

Para aplicarmos o método de Euler precisamos encontrar o termo que vai nos dar a iteração, dessa forma, faremos

d y d x = 2 x e x 2 ,   y 0 = 2 → y n + 1 = y n + 2 y n 2 ⋅ x n - 1 d x

Para d x = 0.1 temos

y n + 1 = y n + 2 y n 2 ⋅ x n - 1 ⋅ 0.1 →   y n + 1 = y n + 0.2 ⋅ y n 2 ⋅ x n - 1  

Usando a calculadora TI-84 vamos seguir os comandos abaixo para obter uma aproximação pelo método de Euler:

- 0.5   S T O   >   y :   2   S T O   >   x :   y   e n t e r

y + 0.2 * y 2 x - 1   S T O   >   y :   x +   0.1   S T O   >   x :   y   ( e n t e r ,   10   t i m e s )

O último valor mostrado no display será y e u l e r ≈ - 0,19285 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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