Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 7.Revisão - Ex. 61

61. Um tanque contém 60 litros de água salgada com 120 kg de sal dissolvido. É despejada no tanque água salgada contendo 3 kg de sal por litro, a uma taxa de 2 litros/min. A mistura é agitada para manter-se uniforme, e escoa do tanque na mesma taxa. Quanto tempo irá levar para que restem no tanque 135 kg de sal?

Passo 1

Vamos montar uma equação que descreva o escoamento do sal pra poder calcular o tempo que a questão pede.

Passo 2

Podemos chamar de a quantidade de sal no tanque min depois que o escoamento começa. Entra no tanque 3kg de sal por litro à 2 litros/min, então:

(quantidade de sal/min que entra)

Como a capacidade do tanque são 60 litros, saem , pois a taxa de saída também é 2 litros/min. Inicialmente temos 120kg e queremos o tempo para que

Passo 3

Podemos escrever a equação pra variação de com :

Separando variáveis...

Agora podemos integrar dos dois lados

Passo 4

Resolvendo as integrais:

Colocando elevando dos dois lados...

Passo 5

Para achar , lembrar que quando .

Então...

Agora é tranquilo

Passo 6

Queremos para que :

Tirando ...

Acabou :D

Resposta

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Dado que f 3 = - 1 e f ' 3 = 5 , encontre uma equação para a reta tangente ao gráfico de y = f x no ponto x = 3 .

Se for dada uma equação da reta tangente no ponto a , f a de uma curva y = f x , como poderíamos calcular f ' a ?Dado que a equação da reta tangente ao gráfico de y = f x no ponto 2,5 é y = 3 x - 1 ,

Use a Definição 2.2 . 1 para encontrar f ' x e, então, encontre a reta tangente ao gráfico de y = f x em x = a . f x = 2 x 3 + 1 ; a = - 1

Use o gráfico de y = f x na figura abaixo para obter uma estimativa do valor de f ' 1 , f ' 3 , f ' 5 e f ' 6 .

Use a Definição 2.2 . 1 para encontrar f ' x e, então, encontre a reta tangente ao gráfico de y = f x em x = a . f x = x + 1 ; a = 8