Enunciado

7-19 Prove a indentidade

13. cotg 2 ⁡ x - 1 = cossech 2 ⁡ x  

Passo 1

Gente quando fizeram a tradução desse livro houve um pequeno erro de digitação nessa questão, a indentidade que deveria estar escrita é:

cotgh 2 ⁡ x - 1 = cossech 2 ⁡ x

Vamos tentar provar essa relação lembrando que:

cotgh ⁡ x = 1 tanh ⁡ x = cossech ⁡ x sech ⁡ x

Também vale lembrarmos que:

c o s s e c h x = 1 s e n h x

E que

sech ⁡ x = 1 cosh ⁡ x

E por fim, vamos usar as fórmulas para o seno e o cosseno hiperbólico.

s e n h x = e x - e - x 2

cosh ⁡ x = e x + e - x 2

Agora é usar isso tudo e tentar provar essa expressão aí.

Passo 2

Agora sim da pra resolver, vamos lá:

cotgh 2 ⁡ x - 1 = cossech 2 ⁡ x

A cotangente hiperbólica pode ser escrita como:

cotgh ⁡ x = cossech ⁡ x sech ⁡ x

Vamos substituir isso na expressão:

cossech ⁡ x sech ⁡ x 2 - 1 = cossech 2 ⁡ x

A secante é um sobre o cosseno e a cossecante é um sobre o seno, então vamos escrever:

cosh ⁡ x senh ⁡ x 2 - 1 = 1 senh 2 ⁡ x

Fazendo a soma do lado esquerdo da igualdade:

cosh 2 ⁡ x - senh 2 ⁡ x senh 2 ⁡ x = 1 senh 2 ⁡ x

Então

cosh 2 ⁡ x - senh 2 ⁡ x = 1

Passo 3

Podemos verificar isso substituindo o seno e o cosseno hiperbólico por seus valores:

e x + e - x 2 2 - e x - e - x 2 2 = 1

e 2 x + 2 e x e - x + e - 2 x - e 2 x - 2 e x e - x + e - 2 x 4 = 1

Perceba que e x e - x = e x e x = 1 , então

e 2 x - e 2 x + 2 + 2 + e - 2 x - e - 2 x 4 = 1

4 4 = 1

Prontinho, ta provada a identidade.

Resposta

Demonstração nos Passos.

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Encontre o valor numérico de cada expressão.s e n h 1 ; s e n h^(- 1) 1 .
Demonstre a identidade:(cosh x + senh x)^n = cosh n x + senh n x (n qualquer número real)
Demonstre a identidade:(1 + tgh x)/(1 - tgh x) = e^(2 x)
Se cosh ⁡ 5 3 e x0 , encontre os valores das outras funções hiperbólicas em x .
Prove que a função seno hiperbólico é contínua e crescente em todo o seu domínio.