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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.6 - Ex. 72

71-72. Calcule cada limite interpretando-o como uma soma de Riemann em que os intervalos são divididos em n subintervalos de igual comprimento.

72. lim n → ∞ ⁡ ∑ x = 1 ∞ n n 2 + x 2 no intervalo 0 ,   1 .

Passo 1

Como o próprio enunciado nos diz, para resolver o exercício de alguma forma precisamos enxergar esse limite como se fosse uma integral, então vamos ver como fazer isso. Por definição, a integral é algo nessa forma

∫ a b f x d x = lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n f ( x i ) ∆ x

onde n é o numero de subintervalos, x i é um ponto arbitrário de um dos intervalos e ∆ x e o tamanho de cada subintervalo..

Então vamos começar pegando o intervalo [ 0,1 ] e dividindo-o em n   subintervalos de comprimento igual, sendo assim, os intervalos serão da forma: [ ( x - 1 ) n , x n ] . Dito isso, o tamanho de cada subintervalo é de x n - x - 1 n = 1 n = ∆ x . Agora vamos escolher algum ponto de cada um desses intervalos, para isso vamos tomar   x i = x n . Agora juntando todas as infomações temos:

lim n → ∞ ⁡ ∑ x = 1 ∞ n n 2 + x 2 = lim n → ∞ ⁡ ∑ x = 1 ∞ n n 2 ( 1 + x 2 n 2 ) = ∑ x = 1 ∞ 1 1 + x 2 n 2 . 1 n = ∑ x = 1 ∞ 1 ( 1 + x i 2 ) ∆ x = ∫ 0 1 1 1 + x 2 d x

Passo 2

Agora que fizemos a correspondência, basta apenas resolver a integral, que é uma das que a gente sabe fazer de cabeça. Daí temos que:

∫ 0 1 1 1 + x 2 d x = arctan ⁡ 1 - arctan ⁡ 0 = π 4

Resposta

π 4

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59-62 Use a parte 2 do Teorema Fundamental do Cálculo para encontrar as derivadas.62- d d u ∫ 0 u xd x