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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.8 - Ex. 56a

Em cada parte, use o Exercício 52 para determinar se a integral converge ou diverge. Se convergir, então use a parte (b) daquele exercício para encontrar uma cota superior para o valor da integral.

(a) ∫ 2 + ∞ x 3 + 1 x d x

Passo 1

Relembrando, o exercício 52 fala sobre o teste de comparação para integrais imprórprias. Como ele funciona?

Se f e g forem contínuas e

0 ≤ f x ≤ g ( x )

E isso acontecer dentro do intervalo onde x ≥ a , vamos dizer que:

- Se ∫ a + ∞ f x d x diverge, então ∫ a + ∞ g ( x ) d x diverge.

- Se ∫ a + ∞ g x d x converge, então ∫ a + ∞ f ( x ) d x converge e ∫ a + ∞ f x d x ≤ ∫ a + ∞ g x d x .

A ideia aqui é achar uma função que limita nosso integrando por baixo ou por cima, no intervalo de integração, e testar para ver se a integral dessa função, com os nossos extremos de integração, diverge ou converge.

Belezinha? Vamos começar!

Passo 2

Nosso integrando é:

x 3 + 1 x

Vamos achar uma função que limita ela por baixo ou por cima, no intervalo x ≥ 2 , já que 2 é o extremo de integração inferior.

Como o valor de x sempre vai ser maior que 1 , podemos escrever:

x 3 > x 2

Agora vamos brincar um pouco com essa inequação:

x 3 + 1 > x 3 > x 2 ∴ x 3 + 1 > x 3 > x 2 ∴ x 3 + 1 x > x 3 x > x 2 x

Repara que nossa função apareceu no primeiro termo e que a gente pode simplificar o último termo. Vamos esquecer o do meio, e escrever:

x 3 + 1 x > x 2 x ∴ g x = x 3 + 1 x > 1 = f ( x )

Logo, nossa função limitante é f x = 1 .

Passo 3

A gente vai calcular a integral dessa função com os nossos extremos de integração e ver se ela converge ou diverge.

∫ 2 + ∞ 1 d x = lim l → ∞ ⁡ ∫ 2 l 1 d x = lim l → ∞ ⁡ l - 2 → + ∞

Ih a integral diverge. Como nosso integrando é maior que essa função, dentro do intervalo de integração, a nossa integral

∫ 2 + ∞ x 3 + 1 x d x

Também vai divergir. ☹

Resposta

Diverge

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