Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 7.Revisão - Ex. 79
79. Uma força eletromotriz de 100 volts é aplicada a um circuito elétrico simples, consistindo em um resistor de 10 ohms e um indutor de L henrys, onde L varia com o tempo, de modo que em t s onde . Se i ampères for a corrente em t s e quando , (a) expresse i como uma função de t. (b) Ache a corrente máxima, teoricamente.
Passo 1
Para começarmos a resolver esse exercício, é preciso lembrar da existência da segunda lei de Kirchhoff, que pode ser traduzida matematicamente da seguinte maneira:
Onde L é a indutância, i é a corrente, R a resistência e E a voltagem.
Segundo o enunciado:
Nossa equação fica assim:
Assim podemos ver que a equação é do tipo:
Onde:
Dado essas informações, basta usar o método do teorema 7.8.1 do Capítulo 7, seção 8 do livro.
Passo 2
Começamos achando o fator de integração.
Como um fator de integração é:
Passo 3
Multiplicando o fator de integração nos dois lados da equação, ficamos com:
Integrando os dois lados, temos:
Passo 4
Vamos resolver a integral do lado direito separadamente nesse passo.
Para resolve – lá vamos fazer a seguinte substituição:
Nossa integral fica:
Passo 5
Com o resultado que obtivemos no passo 4, ficamos com:
Passo 6
Para acharmos o valor de C, vamos usar as condições iniciais quando .
Substituindo o C encontrado na equação:
Passo 7
Para achar a corrente máxima, basta derivar a função da corrente uma vez e descobrir em que instante t a derivada é zero, sabendo basta jogar esse valor de t na função da corrente, assim obtendo a corrente máxima.
Derivando a função e igualando a zero:
Agora jogando esse valor de t na função da corrente, iremos obter a corrente máxima.
Resposta
- A corrente máxima é de 10 ampères