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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 7.8 - Ex. 13

Ache a solução completa para a equação diferencial:

d y d x = 1 - 2 x y 1 + x 2  

Passo 1

Para verificar que a equação diferencial é de primeira ordem em y , devemos coloca-la na forma:

d y d x + P x y = Q ( x )

Temos então:

d y d x = 1 1 + x 2 - 2 x y 1 + x 2 ⇒ d y d x + 2 x 1 + x 2 y = 1 1 + x 2

A equação agora está do jeiro que queríamos, com P x = 2 x 1 + x 2 e Q x = 1 1 + x 2 . O fator de integração pelo qual devemos multiplicar a equação é então e ∫ P x d x .

Passo 2

Calculamos o fator de integração:

∫ P x d x = ∫ 2 x 1 + x 2 d x

Fazendo a substituição u = 1 + x 2 , que nos dá d u = 2 x   d x ⇒ d x = d u 2 x :

∫ 2 x 1 + x 2 d x = ∫ 2 x u   d u 2 x = ∫ d u u = ln ⁡ | u | + k = ln ⁡ ( 1 + x 2 ) + k

O fator de integração é então:

e ∫ P x d x = e ln ⁡ ( 1 + x 2 ) = 1 + x 2

Multiplicando a equação diferencial por 1 + x 2 :

1 + x 2 d y d x + 1 + x 2 2 x 1 + x 2 y = 1 + x 2 1 + x 2 ⇒ 1 + x 2 d y d x + 2 x y = 1

Passo 3

Como d 1 + x 2 d x = 2 x , temos:

1 + x 2 d y d x + d x 2 + 1 d x y = 1 ⇒ d x 2 + 1 y d x = 1

Agora integrando:

∫ d x 2 + 1 y = ∫ 1 d x ⇒ x 2 + 1 y = x + C ⇒ y = x + C 1 + x 2

Resposta

y = x + C 1 + x 2

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