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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 7.8 - Ex. 15

Ache a solução completa para a equação diferencial:

d y d x = y ln ⁡ y x + ln ⁡ y

Passo 1

A equação diferencial dada não é de primeira ordem em y . Para verificar se a equação diferencial é de primeira ordem em x , devemos coloca-la na forma

d x d y + P y x = Q ( y )

Para y > 0 , temos então:

d y d x = y ln ⁡ y x + ln ⁡ y ⇒ d x d y = x + ln ⁡ y y ln ⁡ y = x y ln ⁡ y + 1 y ⇒ d x d y - 1 y ln ⁡ y x = 1 y

Agora a equação diferencial está como queríamos, com P y = - 1 y ln ⁡ y e Q x = 1 y . O fator de integração pelo qual devemos multiplicar a equação é então e ∫ P y d y .

Passo 2

Calculamos o fator de integração:

∫ P y d y = ∫ - 1 y ln ⁡ y d y = ∫ - 1 ln ⁡ y d ( ln ⁡ y ) = - ln ⁡ ln ⁡ y + k

O fator de integração é então:

e ∫ P y d x = e = - ln ⁡ ln ⁡ y = e ln ⁡ ln ⁡ y - 1 = 1 ln ⁡ y

Multiplicando a equação diferencial por 1 ln ⁡ y :

1 ln ⁡ y   d x d y - 1 y ln 2 ⁡ y x = 1 y ln ⁡ y

Passo 3

Como d 1 / ln ⁡ y d y = - 1 ln 2 ⁡ y ⋅ 1 y = - 1 y ln 2 ⁡ y , temos:

1 ln ⁡ y   d x d y + d 1 ln ⁡ y d y   x = 1 y ln ⁡ y ⇒ d x ln ⁡ y d x = 1 y ln ⁡ y

Agora integrando:

∫ d x ln ⁡ y = ∫ 1 y ln ⁡ y d y ⇒ x ln ⁡ y = ln ⁡ ln ⁡ y + C ⇒ x = ln ⁡ y ln ⁡ ln ⁡ y + C ln ⁡ y

Resposta

x = ln ⁡ y ln ⁡ ln ⁡ y + C ln ⁡ y

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