83)S eja f a função definida por

f x = 1   s e   x   f o r   i n t e i r o 0   s e   x   n ã o   f o r   i n t e i r o

  1. Faça um esboço do gráfico de f .
  2. Para quais valores de a existe lim x → a ⁡ f ( x ) ?
  3. Em quais números f   é contínua?

Passo 1

O exercício solicita na letra a) que se faça um esboço do gráfico.

Passo 2

A alternativa b) soliticita para quais valores existe o limite da função quando x tender a “a”. Para isso precisamos avaliar 2 casos; quando “a” for inteiro e quando “a” não for inteiro.

Se “a” inteiro, e para todo x nos intervalos a - 1 , a , a ,   a + 1 ,   f x = 0 :

  lim x → a - ⁡ f x = 0

lim x → a + ⁡ f x = 0

Portanto:   lim x → a ⁡ f x = 0

Se “a” não é inteiro, e está no intervalo k , k + 1   para algum inteiro k. Então para todo x no intervalo k , a ,   a ,   k + 1 ,   f x = 0 :

  lim x → a - ⁡ f x = 0

lim x → a + ⁡ f x = 0

Portanto:   lim x → a ⁡ f x = 0

Então conclui-se que o lim x → a ⁡ f x existe para todo a.

Passo 3

A letra c) do exercício pergunta em quais números a função é contínua. Pelo gráfico observa-se que ela será contínua em todos os valores reais exceto nos números inteiros.

Resposta

a)

b) O lim x → a ⁡ f x existe para todo a.

c) f é contínua para todos os números reais exceto números inteiros.

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