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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 10.3 - Ex. 19

Encontre a equação cartesiana para a curva descrita pela equação polar dada.

r 2 cos ⁡ 2 θ = 1

Passo 1

Faalaee!! Vamos resolver uma questãozinha???

Bom... Queremos encontrar a equação cartesiana (ou seja, uma y = f x ) para a curva descrita pela seguinte equação polar:

r 2 cos ⁡ 2 θ = 1

Para isso, a gente precisa saber que podemos relacionar as coordenadas cartesianas x , y com as coordenadas polares r , θ da seguinte forma:

Veja que o ponto P pode ser dado tanto em coordenadas cartesianas como em coordenadas polares.

Veja também que temos um triângulo retângulo. Assim, podemos fazer algumas relações!! 😉

Passo 2

Pra começar, a gente vai precisar da seguinte relação trigonométrica:

cos ⁡ 2 θ = cos 2 ⁡ θ - s e n 2 θ

Assim, substituindo essa relação na equação dada no enunciado, temos:

r 2 cos 2 ⁡ θ - s e n 2 θ = 1

Distribuindo r 2 :

r 2 cos 2 ⁡ θ - r 2 s e n 2 θ = 1

A gente pode deixar dessa forma aqui:

r cos ⁡ θ 2 - r   s e n   θ 2 = 1

Analisando o triângulo retângulo no passo 1, temos as seguintes relações:

x = r cos ⁡ θ

y = r   s e n   θ

Dessa forma, substituindo na nossa equação, temos:

x 2 - y 2 = 1

Isso aí é a equação cartesiana de uma hipérbole centrada na origem😊

Resposta

x 2 - y 2 = 1

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