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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.3 - Ex. 87

A equação de van der Waals para n mols de um gás é

P + n 2 a V 2 V - n b = n R T

onde P é a pressão, V é o volume e T é a temperatura. A constante R é a constante universal de gás e a e b são constantes positivas que são características de um gás particular. Calcule

∂ T ∂ P           e           ∂ P ∂ V

Passo 1

Oie, vou te ajudar nessa atividade sobre derivadas parciais!

A questão fornece a equação de estado de uma gás de van der Waals:

P + n 2 a V 2 V - n b = n R T

Note que essa equação define T como função de P e V . Analogamente, podemos dizer que ela fornece P implicitamente como função de T e V . O que vamos fazer é encontrar algumas derivadas parciais!

Para derivar parcialmente a gente precisa derivar em relação a variável que a gente quer e mantar todas as outras variáveis como constantes.

Passo 2

Então temos a equação:

P + n 2 a V 2 V - n b = n R T

Realizando esse produto do lado esquerdo da igualdade:

P + n 2 a V 2 V - P + n 2 a V 2 n b = n R T

Vamos realizar essa distributiva:

P V + n 2 a V - 1 - P n b + n 3 a b V - 2 = n R T

Agora a gente deriva todos os termos em relação a P :

∂ ∂ P P V + ∂ ∂ P n 2 a V - 1 - ∂ ∂ P P n b + ∂ n 3 a b V - 2 ∂ P = ∂ ∂ P n R T

Realizada as derivadas, vamos as simplificações:

V + 0 - n b = n R ⋅ ∂ T ∂ P

Dividindo ambos os lados por n R :

V - n b n R = ∂ T ∂ P

Passo 3

Agora vamos tomar P como função de T e V . Derivando implicitamente com relação a V :

∂ ∂ V P V + ∂ ∂ V n 2 a V - 1 - ∂ ∂ V P n b + ∂ n 3 a b V - 2 ∂ V = ∂ ∂ V n R T

Realizando as derivações:

P ⋅ 1 + ∂ P ∂ V ⋅ V - n 2 a V - 2 - n b ⋅ ∂ P ∂ V - 2 n 3 a b V - 3 = 0

Adicionando 2 n 3 a b V - 3 - P em ambos os lados:

∂ P ∂ V V - n b = 2 n 3 a b V - 3 - P

E agora dividindo ambos os lados por V - n b :

∂ P ∂ V = 2 n 3 a b V - 3 - P V - n b

Resposta

∂ T ∂ P = V - n b n R

∂ P ∂ V = 2 n 3 a b V - 3 - P V - n b

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