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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.Revisão - Ex. 59

Ache f " ( pi ) se f (x) = sqrt(2 + c o s x) .

Passo 1

A questão nos pede para encontrar a segunda derivada da função dada aplicada no ponto x = pi , para isso, vamos fazer primeiro a primeira derivada:

f ' (x) = (d)/(d x) (sqrt(2 + c o s x))

Precisamos usar a Regra da Cadeia, derivamos a função de fora primeiro:

(d)/(d t) (sqrt(t)) = (1)/(2 sqrt(t))

E aí substituímos t pela função de dentro, e multiplicamos tudo pela sua derivada, assim:

(d)/(d x) (sqrt(2 + c o s x)) = (1)/(2 sqrt(2 + c o s x)) (d)/(d x) (2 + c o s x)

Resolvendo a derivada que apareceu, ficaremos com:

f ' ( x ) = - (s e n x)/(2 sqrt(2 + c o s x))

Passo 2

Agora que temos a primeira derivada, precisamos fazer a derivada dela para encontrarmos a segunda:

f^(' ') (x) = (d)/(d x) (- (s e n x)/(2 sqrt(2 + c o s x)))

Para resolver, vamos usar a Regra do Quociente, nossa derivada então vai ficar:

(d)/(d x) (- (s e n x)/(2 sqrt(2 + c o s x))) = - ((d)/(d x) (s e n x) (2 sqrt(2 + c o s x)) - s e n x (d)/(d x) (2 sqrt(2 + c o s x)))/((2 sqrt(2 + c o s x))^2)

A derivada do primeiro termo é simples:

(d)/(d x) (s e n x) = c o s x

E no segundo termo já temos o resultado lá do Passo 1, a única diferença é que está multiplicada por 2, ficaremos então com:

(d)/(d x) (2 sqrt(2 + c o s x)) = (1)/(sqrt(2 + c o s x)) (d)/(d x) (2 + c o s x) = - (s e n x)/(sqrt(2 + c o s x))

Substituindo os resultados na Regra do Quociente:

(d)/(d x) (- (s e n x)/(2 sqrt(2 + c o s x))) = - (c o s x (2 sqrt(2 + c o s x)) + s e n x (s e n x)/(sqrt(2 + c o s x)))/((2 sqrt(2 + c o s x))^2)

Reescrevendo:

(d)/(d x) (- (s e n x)/(2 sqrt(2 + c o s x))) = (2 c o s x (2 + c o s x) + s e n^2 x)/(4 ( 2 + c o s x ) sqrt(2 + c o s x))

f " ( x ) = (s e n^2 x + 2 c o s^2 x + 4 c o s x)/(4 ( c o s x + 2 )^((3)/(2)))

Passo 3

Agora vamos calcular a segunda derivada no ponto x = pi :

f " ( pi ) = (s e n^2 pi + 2 c o s^2 pi + 4 c o s pi)/(4 ( c o s x + 2 )^((3)/(2)))

f " ( pi ) = (0 + 2 - 4)/(4 ( - 1 + 2 )^((3)/(2))) = - (1)/(2)

Resposta

f " ( pi ) = - (1)/(2)

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