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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 2.6 - Ex. 28

Encontre d y // d x

y = sqrt(x) t g^3 ( sqrt(x) )

Passo 1

Vamos aplicar d // d x de ambos os lados! Ficamos com:

(d y)/(d x) = (d (sqrt(x) t g^3 ( sqrt(x) )))/(d x)

Como temos um produto, vamos aplicar a Regra do Produto, então ficamos com

(d y)/(d x) = (sqrt(x))^' * t g^3 ( sqrt(x) ) + sqrt(x) * (t g^3 ( sqrt(x) )) '

Passo 2

Vamos começar com a primeira multiplicação

(sqrt(x))^' * t g^3 ( sqrt(x) )

(1)/(2 sqrt(x)) * t g^3 ( sqrt(x) )

Passo 3

Show agora vamos para a segunda parte, que é onde o bicho pega, mas se a gente for com calma vamos chegar no resultado da questão

sqrt(x) * (t g^3 (sqrt(x)))^'

Olhando essa derivada , podemos ver que essa função que é uma função composta, ou seja, tem uma função dentro da outra, e quando isso acontece resolvemos a derivada utilizando a regra da cadeia! Vou te lembrar como é a regra da cadeia, se liga aqui:

(f (g (x)))^' = f^' (g (x)) * g ' ( x )

Beleza, agora vamos esclarecer quem é f ( x ) e g ( x )

f ( x ) é a nossa função de fora, então

f (x) = x^3

f^' (x) = 3 x^2

f^' (g (x)) = 3 t g^2 sqrt(x)

Enquanto g ( x ) é a nossa função de dentro

g (x) = t g ( sqrt(x) )

Para fazer essa derivada vamos precisar de outra regra da cadeia!

t g ( sqrt(x) ) ' = a^' (b (x)) * b^' (x)

a (x) = t g (x)

a^' (x) = sec^2 (x)

Como b (x) = sqrt(x) , ficamos com

a^' (b (x)) = sec^2 ( sqrt(x) )

b (x) = sqrt(x)

b^' (x) = (1)/(2 sqrt(x))

Agora, a nossa regra da cadeia de (a (b (x)))^' ficamos com

sec^2 ( sqrt(x) ) * (1)/(2 sqrt(x))

E esse é o nosso g^' (x)

g^' (x) = (sec^2 (sqrt(x)))/(2 sqrt(x))

Passo 4

Agora que achamos o g ' ( x ) vamos fazer a regra da cadeia para chegar em quem é (s e n^2 (5 x))^'

(t g^3 (sqrt(x)))^' = 3 t g^2 sqrt(x) * (sec^2 (sqrt(x)))/(2 sqrt(x))

(t g^3 (sqrt(x)))^' = (3 t g^2 sqrt(x) *sec^2 (sqrt(x)))/(2 sqrt(x))

Passo 5

Ufa! Agora que já sabemos os termos podemos voltar para nossa regra do produto

(d y)/(d x) = (sqrt(x))^' * t g^3 ( sqrt(x) ) + sqrt(x) * (t g^3 ( sqrt(x) )) '

(d y)/(d x) = (1)/(2 sqrt(x)) * t g^3 (sqrt(x)) + sqrt(x) * (3 t g^2 sqrt(x) *sec^2 (sqrt(x)))/(2 sqrt(x))

Simplificando sqrt(x) na segunda parte da equação ficamos com

(d y)/(d x) = (t g^3 (sqrt(x)))/(2 sqrt(x)) + (3 sec^2 (sqrt(x)) t g^2 ( sqrt(x) ))/(2)

Resposta

(d y)/(d x) = (t g^3 (sqrt(x)))/(2 sqrt(x)) + (3 sec^2 (sqrt(x)) t g^2 ( sqrt(x) ))/(2)

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