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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 2.6 - Ex. 25

Encontre f ' ( x )

f (x) = [x + c o s s e c (x^3 + 3)]^(- 3)

Passo 1

Essa função que temos é uma função composta, ou seja, tem uma função dentro da outra, e quando isso acontece resolvemos a derivada utilizando a regra da cadeia! Vou te lembrar como é a regra da cadeia, se liga aqui:

(f (g (x)))^' = f^' (g (x)) * g ' ( x )

Beleza, agora vamos esclarecer quem é f ( x ) e g ( x )

f ( x ) é a nossa função de fora, então

f (x) = x^(- 3)

Enquanto g ( x ) é a nossa função de dentro

g (x) = x + c o s s e c (x^3 + 3)

Passo 2

Agora que a gente separou nossas funções vamos partir pra cima delas e derivá-las

Para f ( x )

f (x) = x^(- 3)

f^' (x) = - 3 x^(- 4)

Como g (x) = x + c o s s e c (x^3 + 3) , ficamos com

f^' (g (x)) = - 3 [x + c o s s e c (x^3 + 3)]^(- 4)

Agora para g ( x )

g (x) = x + c o s s e c (x^3 + 3)

g^' (x) = 1 + ( c o s s e c (x^3 + 3)^'

Vamos resolver essa derivada de c o s s e c (x^3 + 3) com uma outra regra da cadeia

(c o s s e c (x^3 + 3))^' = u^' (v (x)) v^' (x)

u (x) = c o s s e c (x)

u^' (x) = - c o t g (x) c o s s e c ( x )

u^' (v (x)) = - c o t g (x^3 + 3) c o s s e c (x^3 + 3)

v (x) = x^3 + 3

v^' (x) = 3 x^2

(c o s s e c (x^3 + 3))^' = - c o t g (x^3) c o s s e c (x^3 + 3) * 3 x^2

Passo 3

Maaas vamos lembrar que

g^' (x) = 1 + (c o s s e c (x^3 + 3))^'

Então temos que

g^' (x) = 1 + ( - 3 x^2 c o t g (x^3) c o s s e c (x^3 + 3) )

E lembrando que

f^' (g (x)) = - 3 [x + c o s s e c (x^3 + 3)]^(- 4)

Passo 4

Vamos juntar tudo na nossa regra da cadeia agora, ficamos com isso aqui:

(f (g (x)))^' = - (3)/([x + c o s s e c (x^3 + 3)]^4) * 1 + ( - 3 x^2 c o t g (x^3) c o s s e c (x^3 + 3) )

(f (g (x)))^' = (- 3 * (1 - 3 x^2 c o t g (x^3) c o s s e c (x^3 + 3)))/([x + c o s s e c (x^3 + 3)]^4)

Para tentar deixar a resposta menos feia, podemos deixar assim:

(f (g (x)))^' = (3 * (3 x^2 c o t g (x^3) c o s s e c (x^3 + 3) - 1))/([x + c o s s e c (x^3 + 3)]^4)

Resposta

(f (g (x)))^' = (3 * (3 x^2 c o t g (x^3) c o s s e c (x^3 + 3) - 1))/([x + c o s s e c (x^3 + 3)]^4)

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