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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 2.6 - Ex. 19

Encontre f ' ( x )

f (x) = cos^2 (3 sqrt(x))

Passo 1

Essa função que temos é uma função composta, ou seja, tem uma função dentro da outra, e quando isso acontece resolvemos a derivada utilizando a regra da cadeia! Vou te lembrar como é a regra da cadeia, se liga aqui:

(f (g (x)))^' = f^' (g (x)) * g ' ( x )

Beleza, agora vamos esclarecer quem é f ( x ) e g ( x )

f ( x ) é a nossa função de fora, então

f (x) = x^2

Enquanto g ( x ) é a nossa função de dentro

g (x) = c o s ( 3 sqrt(x) )

Passo 2

Agora que a gente separou nossas funções vamos partir pra cima delas e derivá-las

Para f ( x )

f (x) = x^2

f^' (x) = 2 x

f^' (g (x)) = 2 cos (3 sqrt(x))

Agora para g ( x )

g (x) = cos (3 sqrt(x))

Aqui temos outra regra da cadeia

g^' (x) = (u (v (x)))^' = u^' (v (x)) * v ' ( x )

u (x) = cos (x)

u^' (x) = - s e n (x)

u^' (v (x)) = - s e n ( 3 sqrt(x) )

v (x) = 3 sqrt(x)

v^' (x) = (3)/(2 sqrt(x))

g^' (x) = - s e n (3 sqrt(x)) * (3)/(2 sqrt(x))

g^' (x) = - (3 s e n (3 sqrt(x)))/(2 sqrt(x))

Passo 3

Vamos juntar tudo na nossa regra da cadeia agora, ficamos com isso aqui:

(f (g (x)))^' = 2 cos (3 sqrt(x)) * (- (3 s e n (3 sqrt(x)))/(2 sqrt(x)))

(f (g (x)))^' = - (3 s e n (3 sqrt(x)) cos (3 sqrt(x)))/(sqrt(x))

Resposta

(f (g (x)))^' = - (3 s e n (3 sqrt(x)) cos (3 sqrt(x)))/(sqrt(x))

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