22. Se g(x) + x \* sen(g(x)) = x^2 e g(1) = 0 , ache g'(1) .

Passo 1

Se derivarmos implicitamente a equação, g ' x vai aparecer devido a regra da cadeia que vamos aplicar em s e n ⁡ g x e também pela derivação simples de g x . Então vamos começar aplicando a derivada na equação:

d d x g x + x s e n ⁡ g x = d d x x 2

d d x g x + d d x x s e n ⁡ g x = 2 x

g ' x + d d x x sen ⁡ g x = 0

Precisamos da regra do produto:

u ⋅ v ' = v ⋅ u ' + u ⋅ v '

Aplicando essa regra:

g ' x + sen ⁡ g x ⋅ 1 + x ⋅ d d x sen ⁡ g x = 0

g ' x + sen ⁡ g x + x ⋅ d d x sen ⁡ g x = 0

Passo 2

Para derivarmos sen ⁡ g x precisamos utulizar a regra da cadeia, ela diz que quando temos uma “função dentro da outra”:

F x = f g x

e queremos derivá-la, a gente faz a derivada da função de fora e multiplica pela derivada da função de dentro:

F ' x = f ' g x ⋅ g ' x

Nesse caso a função de fora é o seno e a função de dentro é g x , então podemos escrever a equação como sendo:

g ' x + sen ⁡ g x + x ⋅ cos ⁡ g x ⋅ g ' x = 0

Precisamos isolar g ' x :

g ' x + x ⋅ cos ⁡ g x ⋅ g ' x = - sen ⁡ g x

Tirando g ' x em evidência:

g ' x 1 + x ⋅ cos ⁡ g x = - sen ⁡ g x

g ' x = - sen ⁡ g x 1 + x ⋅ cos ⁡ g x

Passo 3

Como temos o valor de x = 1 e de g 1 = 0 , só precisamos substituir os valores para acharmos g ' 1 :

g ' 1 = - sen ⁡ g 1 1 + 1 ⋅ cos ⁡ g 1

g ' 1 = - sen ⁡ 0 1 + cos ⁡ 0

g ' 1 = - 0 1 + 1

g ' 1 = 0

Resposta

g ' 1 = 0

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