7 -42 Encontre a derivada da função.

y = sen (tan sqrt(sen x))

Passo 1

Opa, bora encontrar a derivada da função:

y = sen (tan sqrt(sen x))

A regra da cadeia diz que quando temos uma “função dentro da outra”:

F (x) = f (g (x))

Para derivar ela a gente faz a derivada da função de fora e multiplica pela derivada da função de dentro:

F^' (x) = f^' (g (x)) * g^' (x)

Nesse caso, temos que a função de fora é o seno:

f (g (x)) = sen (tan sqrt(sen x))

e a derivada do seno é o cosseno.

Já a função de dentro é:

g (x) = tan sqrt(sen x)

e sua para calcular sua derivada será necessário utilizar mais uma vez a regra da cadeia. Mas por enquanto podemos escrever a derivada de y como sendo:

y^' = cos (tan sqrt(sen x)) (d)/(d x) (tan sqrt(sen x))

Passo 2

Utilizando a regra da cadeia para calcular g (x) podemos escrever a derivada de y como sendo:

A derivada da tangente é a secante ao quadrado, então:

y^' = cos (tan sqrt(sen x)) sec^2 (sqrt(sen x)) (d)/(d x) (sqrt(sen x))

Novamente será necessária a regra da cadeia:

A derivada da raiz quandrada é:

(d)/(d x) sqrt(x) = (1)/(2 sqrt(x))

Portanto a derivada de y vai ficar:

y^' = cos (tan sqrt(sen x)) sec^2 (sqrt(sen x)) (1)/(2 sqrt(sen x)) (d)/(d x) (sen x)

E aqui finalmente chegamos em nossa resposta, pois a derivada do seno é o cosseno:

y^' = cos (tan sqrt(sen x)) sec^2 (sqrt(sen x)) (1)/(2 sqrt(sen x)) cos (x)

Prontinho!

Resposta

y^' = cos (tan sqrt(sen x)) sec^2 (sqrt(sen x)) (1)/(2 sqrt(sen x)) cos (x)

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