Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.5 - Ex. 31

Use a derivação implícita para encontrar a equação da reta tangente à curva no ponto dado.

2   x 2 + y 2 2 = 25   ( x 2 - y 2 ) , ( 3,1 ) (lemniscata)

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... O enunciado pede a equação da reta tangente à uma curva dada por:

2   x 2 + y 2 2 = 25   ( x 2 - y 2 )

No ponto ( 3,1 ) .

Assim, para acharmos da equação de uma reta, precisamos de duas informações: um ponto em que ela passa (o enunciado já forneceu) e sua inclinação.

Assim, podemos usar a equação da reta na forma ponto-inclinação:

y - y 0 = m   ( x - x 0 )

Onde m representa a inclinação (ou coeficiente angular da reta) e x 0 , y 0 , os pontos dados.

Para a reta tangente, m será a derivada de y com relação a x , isto é, y ' no ponto de tangência.

Assim, para encontrar m , devemos derivar implicitamente a equação fornecida.

Agora bora lá!! 😉

Passo 2

Derivando a equação implicitamente com relação a x :

2 ⋅ 2 ⋅ x 2 + y 2 ⋅ x 2 + y 2 ' = 25 ⋅ ( 2 x - 2 y ⋅ y ' )

Então,

4   x 2 + y 2 2 x + 2 y y ' = 25     ( 2 x - 2 y y ' )

Passo 3

Como o ponto de interesse é x 0 ,   y 0 = ( 3,1 ) , devemos substituir x = 3 e y = 1 na equação encontrada no passo 2:

4 ⋅ 3 2 + 1 2 ⋅ 2 ⋅ 3 + 2 ⋅ 1 ⋅ y ' = 25 ⋅ 2 ⋅ 3 - 2 ⋅ 1 ⋅ y ' ∴

4 ⋅ 10 ⋅ 6 + 2 y ' = 25 ⋅ 6 - 2 y ' ∴

240 + 80 y ' = 150 - 50 y ' ∴

130 y ' = - 90 ∴

y ' = - 90 130 ∴

y ' = - 9 13

Assim, o coeficiente angular da reta tangente será m = - 9 / 13 .

Passo 4

Agora basta substituir o ponto e a inclinação na equação da reta:

y - 1 = - 9 13 ⋅ ( x - 3 )   ∴

13   y - 1 = - 9   x - 3 ∴

13 y - 13 = - 9 x + 27 ∴

9 x + 13 y - 40 = 0 ∴

y = - 9 13 x + 40 13

Entendeu direitinho?? Responde aee 😉

Resposta

R: 9 x + 13 y - 40 = 0 .

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Use a derivação implícita para encontrar a equação da reta tangente à curva no ponto dado. x 2 + x y + y 2 = 3 , ( 1,1 ) (elipse)
A curva com equação 2 y 3 + y 2 - y 5 = x 4 - 2 x 3 + x 2 tem sido comparada com um “vagão sacolejante”. Use um SCA para fazer essa curva e descubra o porquê desse nome.Em quantos pontos essa curva te
Formas extravagantes podem ser criadas usando-se a capacidade de traçar funções definidas implicitamente de um SCA.Faça o gráfico da curva com equação y y 2 - 1 y - 2 = x x - 1 x - 2 Em quantos pontos
Use derivação implícita para encontrar a equação da reta tangente da curva no pontos dados. x 2 - x y - y 2 = 1 , 2,1 (hipérbole)
28. Use a derivação implícita para encontrar a equação da reta tangente à curva no ponto dado. x 2 + 2 x y - 4 y ² = 12 ² , ( 2,1 ) (elipse)