Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.7 - Ex. 7

Use a derivação implícita para determinar d y // d x em

y^2 = (x - 1)/(x + 1)

Passo 1

Para obtermos o termo d y // d x , devemos derivar a função implicitamente em relação a variável x . Derivação implícita é simples, pois ela segue os mesmos procedimentos e regras de uma derivação normal. Considerando tanto x quanto y como variáveis, vamos utilizar as regras do produto, quociente, da cadeia e todas as outras normalmente. Devemos ter apenas um único cuidado. Veja abaixo as derivadas das funções f ( x ) e g ( y )

(d)/(d x) f (x) = (d f)/(d x) * (d x)/(d x) = (d f)/(d x)

(d)/(d x) g (y) = (d g)/(d x) * (d y)/(d x)

Ao derivarmos as funções que depende de x , derivamos elas normalmente. Já ao derivarmos as funções de y , podemos derivá-las normalmente também. Entretanto, não podemos esquecer de multiplicar ao final por d y // d x !

Vejamos abaixo na prática como isto funciona.

Passo 2

Vamos derivar a nossa função:

[y^2]^' = [ (x - 1)/(x + 1) ] '

Aplicando a regra do quociente, temos:

2 y * (d y)/(d x) = ([x - 1]^' (x + 1) - ( x - 1 ) [ x + 1 ] ')/((x + 1)^2)

2 y * (d y)/(d x) = ((x + 1) - ( x - 1 ))/((x + 1)^2)

2 y * (d y)/(d x) = (2)/((x + 1)^2)

(d y)/(d x) = (1)/(y (x + 1)^2)

Resposta

(d y)/(d x) = (1)/(y (x + 1)^2)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

A figura mostra uma lâmpada localizada três unidades à direita do eixo y e uma sombra originada pela região elíptica x 2 + 4 y 2 ≤ 5 . Se o ponto ( - 5 ,0 ) estiver na borda da sombra, qual a altura d
A função y = f x , y0 , é dada implicitamente por x 2 + 4 y 2 = 2 . Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f , no ponto de abscissa 1 .
Suponha que y = f x seja uma função derivável dada implicitamente pela equação y 3 + 2 x y 2 + x = 4 . Suponha ainda que 1 ∈ D f .a) Calcule f 1 .b) Determine a equação da reta tangente ao gráfico de
A reta tangente à curva x y - x 2 = 1 no ponto x 0 , y 0 , x 00 , intercepta o eixo y no ponto B . Mostre que a área do triângulo de vértices 0,0 , x 0 , y 0 e B não depende de x 0 , y 0 .
Determine a equação da reta tangente à elipse x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 , no ponto x 0 , y 0 , y 0 ≠ 0 .