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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.7 - Ex. 7

Use a derivação implícita para determinar d y // d x em

y^2 = (x - 1)/(x + 1)

Passo 1

Para obtermos o termo d y // d x , devemos derivar a função implicitamente em relação a variável x . Derivação implícita é simples, pois ela segue os mesmos procedimentos e regras de uma derivação normal. Considerando tanto x quanto y como variáveis, vamos utilizar as regras do produto, quociente, da cadeia e todas as outras normalmente. Devemos ter apenas um único cuidado. Veja abaixo as derivadas das funções f ( x ) e g ( y )

(d)/(d x) f (x) = (d f)/(d x) * (d x)/(d x) = (d f)/(d x)

(d)/(d x) g (y) = (d g)/(d x) * (d y)/(d x)

Ao derivarmos as funções que depende de x , derivamos elas normalmente. Já ao derivarmos as funções de y , podemos derivá-las normalmente também. Entretanto, não podemos esquecer de multiplicar ao final por d y // d x !

Vejamos abaixo na prática como isto funciona.

Passo 2

Vamos derivar a nossa função:

[y^2]^' = [ (x - 1)/(x + 1) ] '

Aplicando a regra do quociente, temos:

2 y * (d y)/(d x) = ([x - 1]^' (x + 1) - ( x - 1 ) [ x + 1 ] ')/((x + 1)^2)

2 y * (d y)/(d x) = ((x + 1) - ( x - 1 ))/((x + 1)^2)

2 y * (d y)/(d x) = (2)/((x + 1)^2)

(d y)/(d x) = (1)/(y (x + 1)^2)

Resposta

(d y)/(d x) = (1)/(y (x + 1)^2)

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