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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.7 - Ex. 8

Use a derivação implícita para determinar d y // d x em

x^3 = (2 x - y)/(x + 3 y)

Passo 1

Para obtermos o termo d y // d x , devemos derivar a função implicitamente em relação a variável x . Derivação implícita é simples, pois ela segue os mesmos procedimentos e regras de uma derivação normal. Considerando tanto x quanto y como variáveis, vamos utilizar as regras do produto, quociente, da cadeia e todas as outras normalmente. Devemos ter apenas um único cuidado. Veja abaixo as derivadas das funções f ( x ) e g ( y )

(d)/(d x) f (x) = (d f)/(d x) * (d x)/(d x) = (d f)/(d x)

(d)/(d x) g (y) = (d g)/(d x) * (d y)/(d x)

Ao derivarmos as funções que depende de x , derivamos elas normalmente. Já ao derivarmos as funções de y , podemos derivá-las normalmente também. Entretanto, não podemos esquecer de multiplicar ao final por d y // d x !

Vejamos abaixo na prática como isto funciona.

Passo 2

Reorganizando a nossa função, obtemos:

x^3 (x + 3 y) = 2 x - y

Vamos derivar a nossa função:

[x^3 (x + 3 y)]^' = [ 2 x - y ]^'

Agora, ao invés de aplicarmos a regra do quociente, podemos aplicar a regra do produto. Assim, temos:

[x^3]^' (x + 3 y) + x^3 [x + 3 y]^' = 2 - (d y)/(d x)

3 x^2 (x + 3 y) + x^3 [1 + 3 * (d y)/(d x)] = 2 - (d y)/(d x)

3 x^3 * (d y)/(d x) + (d y)/(d x) = 2 - x^3 - 3 x^3 - 9 x^2 y

(3 x^3 + 1) * (d y)/(d x) = 2 - 4 x^3 - 9 x^2 y

(d y)/(d x) = (2 - 4 x^3 - 9 x^2 y)/(3 x^3 + 1)

Resposta

(d y)/(d x) = (2 - 4 x^3 - 9 x^2 y)/(3 x^3 + 1)

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Considere y como variável independente e x como variável dependente e use a derivação implícita para encontrar d x / d y . x 4 y 2 - x 3 y + 2 x y 3 = 0
Se g x + x sin ⁡ g x = x 2 , ache g ' ( 0 ) .
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