Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.5 - Ex. 22
Se , ache .
Passo 1
Fala aí, pessoal!
Nesse problema foi dada a equação
E nosso objetivo é determinar .
Parece complicado?
Para resolver esse problema, vamos derivar nos dois lados da igualdade e tentar isolar em um dos lados e substituir por .
Porém podemos perceber que vamos cair em uma derivada um pouco diferente por causa do termo .
Esse termo é um produto de funções de e dentro do seno ainda tem uma função .
Dessa forma, para derivar esse termo temos que aplicar a regra do produto e a regra da cadeia já que temos um produto de funções e uma dela é uma função composta.
A regra do produto é dada por
Já a regra da cadeia é dada por
Sacou? Bora começar!
Passo 2
Vamos derivar os dois lados da igualdade
A derivada da soma é igual a soma das derivadas, logo
Primeiro vamos aplicar a regra do produto no termo ...
Agora no termo temos que aplicar a regra da cadeia
Perceba que na derivada de estamos tratando como uma variavel...
Substituindo na equação, chegamos em
Agora derivamos pelo teorema fundamental do calculo e pela regra da potencia...
Tranquilo até aqui?
Passo 3
Agora vamos tentar isolar em um lado da igualdade, então tudo que não tem vamos passar para o lado direito
Fazendo , temos
Para obter uma resposta, temos que saber quanto vale ...
Fazendo na equação do enunciado, temos
Logo, substituindo em
E aí! entendeu tudo? Responde Aí!