Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.8 - Ex. 47
Ache a altura do Cone circular reto com maior volume que pode ser inscrito numa esfera de raia a.
Passo 1
Queremos descobrir h
Visualizar o problema
Passo 2
Visualizamdo a figura 2, um corte Transversal. Podemos observar que o raio do cone (rc) é limitado pelo raio da esfera (Re), assim como também h é limitado pelo raio da esfera. Logo podemos fazer r e h como função da esfera.
r varia em relação ao ângulo , logo podemos escrever r = acos , visto que r é a projeção horizontal de a, se olharmos para o circulo ( figura 2 )
Para acharmos h podemos montar uma tabelinha, e ver como ele varia com r
Logo podemos escrever h como R + Rsen, logo h = a ( 1 + sen, com .
(Em teoria poderia ser entre
Sendo o Volume Cone = 1/3 h . Area da Base =
V =
V=
Passo 3
Otimizando nosso problema .
Logo
O que nos leva a :
Passo 4
Uma solução então é
Continuando a solução
Visto que cos²x + sen²x = 1
Fazendo u =
Então temos que cos
O que nos leva a
Tanto 90° quanto 270°, são vales que não nos interresao pois fornecem volume do cone = 0 (r = acos
Entao o ângulo procurado é 19,5°.
Passo 5
Lembrando que queremos h, e sabendo que sen
Sendo h = a ( 1 + sen,
h = a ( 1+1/3 )
Resposta
h =