Mostre que entre todos os retângulos tendo uma área de , o quadrado com de lado tem o menor perímetro.

O perímetro deste retângulo é dado por:

(2)

Da equação (1) temos:

Substituindo em (2) temos:

Como agora só depende da variável podemos reescrever:

Note que como e são as medidas dos lados do retângulo devamos ter e .

Derivando a equação do perímetro temos:

Como existe para todo valor de , temos que os pontos críticos de ocorrerão quando . Assim:

Como temos que o ponto crítico de ocorre em

Note que:

Se , temos ;

Se , temos .

Assim, pelo teste da primeira derivada temos um mínimo de em .

Substituindo em (1) temos:

Portanto, o retângulo com área e menor perímetro é o quadrado de lado , como queríamos mostrar.