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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.Revisão - Ex. 60

Um fabricante propõe entregar a um vendedor 300 cadeiras a $90 cada e reduzir, no total do pedido, o preço por unidade em $0,25 para cada cadeira acima de 300. Ache o montante envolvido na maior transação possível entre o fabricante e o vendedor nessas circunstâncias.

Passo 1

Observe que se o fabricante entregar 300 cadeiras temos o montante M dado por:

M = 90.30 0

Vamos ver o que acontece com o montante quando adicionamos mais pedidos.

Adicionando uma unidade:

M = 90 - 0,25 . 300 + 1

Adicionando duas unidades:

M = 90 - 2 . 0,25 . 300 + 2

Adicionando três unidades:

M = 90 - 3 . 0,25 . ( 300 + 2 )

Disso podemos entrar um padrão para a função M dependendo da quantidade n de cadeira que adicionarmos. Assim:

M n = 90 - n 0,25 . 300 + n

Passo 2

Derivando M em função da variável n temos:

M ' n = - 0.25 300 + n + 90 - n 0,25 . 1 ⇒

M ' n = - 0.25 300 + n + 90 - n 0,25 ⇒

M ' n = - 75 - 0,25 n + 90 - 0,25 n ⇒

M ' n = - 0,5 n + 1 5

Passo 3

Como M ' é uma função polinomial, temos que os pontos críticos de M ocorrerão quando M ' n = 0 . Assim:

M ' n = 0 ⇒

- 0,5 n + 1 5 = 0 ⇒

- 0,5 n = - 15 ⇒

0,5 n = 15 ⇒

n = 15 0,5 ⇒

n = 3 0

Passo 4

Vamos analisar o comportamento de M ' entorno de n = 30 . Assim:

→ Se n < 30 , temos M ' n > 0 . Logo M é crescente neste intervalo;

→ Se n > 30 , temos M ' n < 0 . Logo M é decrescente neste intervalo.

Logo, em n = 30 temos um ponto de máximo da função M ( n ) .

Resposta

Portanto, o montante na maior negociação é 330 .

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