Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 7.7 - Ex. 28
Ache as aproximações , e para e . Então calcule os erros correspondentes , e . (Arredonde seus resultados para seis casas decimais. Você pode usar o comando soma em um sistema algébrico computacional.) Quais observações você pode fazer? Em particular, o que acontece aos erros quando é dobrado?
Passo 1
Vamos começar calculando a integral normalmente:
E agora vamos usar as fórmulas para cada uma das aproximações no nosso intervalo de comprimento .
Vamos representar essa função por :
Passo 2
Primeiro vamos usar , nesse caso, cada um dos intervalos será:
Na aproximação pelo ponto médio, começamos em , e vamos somando :
Na aproximação trapezoidal, colocamos pesos nos termos do meio, e dividimos tudo por dois. Em seguida vamos desde o início até o fim do intervalo em passos de :
E paa o método de Simpson, , colocamos pesos alternados de e , seguindo uma ordem como essa:
E então os erros:
Passo 3
Agora vamos fazer praticamente a mesma coisa para . Como o enunciado diz que podemos usar um computador, vamos apenas deixar as fórmulas indicadas aqui:
E então os erros são:
Passo 4
Que observações podemos fazer sobre os erros?
Em primeiro lugar, os erros e tem sinais opostos, e diminuem por um fator quando dobra..
O erro da regra de Simpson é muito menor que o das outroas, e cai por um fator próximo de quando dobra.
Resposta
Valores podem ser calculados computacionalmente. Os erros da régua trapezoidal e do ponto médio caem por um fator quando dobra, e o erro da regra de Simpson cai por um fator .