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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 7.5 - Ex. 71

Avalie a integral:

int (x)/(x^4 + 4 x^2 + 3) d x

Passo 1

Vamos decompor essa função em frações parciais:

(x)/(x^4 + 4 x^2 + 3) = (x)/(( x^2 + 3 ) ( x^2 + 1 ))

Como os dois fatores no denominador são de segundo grau, os numeradores serão funções do primeiro grau:

(x)/((x^2 + 3) ( x^2 + 1 )) = (A x + B)/(( x^2 + 3 )) + (C x + D)/(( x^2 + 1 ))

Passo 2

Agora vamos multiplicar os dois lados por ( x^2 + 3 ) ( x^2 + 1 ) , então:

x = (A x + B) (x^2 + 1) + (C x + D) (x^2 + 3)

x = (A x^3 + B x^2 + A x + B) + (C x^3 + D x^2 + 3 C x + 3 D)

Vamos agrupar os coeficientes de potências iguais:

x = (A + C) x^3 + (B + D) x^2 + (A + 3 C) x + (B + 3 D)

E o termo do lado esquerdo só tem a primeira potência de x , então:

{[[A + C = 0],[B + D = 0],[B + 3 D = 0],[A + 3 C = 1]])

Resolvendo esse sistema, encontramos:

A = - (1)/(2) , B = 0 , C = (1)/(2) , D = 0

Passo 3

Agora vamos integrar essas frações parciais:

I = int (x)/(x^4 + 4 x^2 + 3) d x = int [- (1)/(2) (x)/((x^2 + 3)) + (1)/(2) (x)/(( x^2 + 1 ))] d x

E então vamos resolver cada um desses termos separadamente:

I = int - (1)/(2) (x)/((x^2 + 3)) d x + int (1)/(2) (x)/(( x^2 + 1 )) d x

I = - (1)/(4) ln (x^2 + 3) + (1)/(4) ln (x^2 + 1) + C

Resposta

A integral é - (1)/(4) ln (x^2 + 3) + (1)/(4) ln (x^2 + 1) + C .

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