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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.8 - Ex. 56

A integral

∫ 2 ∞ 1 x x 2 - 4 d x

é imprópria por duas razões: o intervalo 0 , ∞ é infinito e o integrando tem uma descontinuidade infinita em 0 . Calcule-a expressando-a como uma soma de integrais impróprias do Tipo 2 e do Tipo 1 , como a seguir:

∫ 2 ∞ 1 x x 2 - 4 d x = ∫ 2 3 1 x x 2 - 4 d x + ∫ 3 ∞ 1 x x 2 - 4 d x

Passo 1

Para calcular a primeira integral vamos usar a Definição de uma Integral Imprópria do Tipo 2 (b), pois ela é contínua em 2,3 e descontínua em 2 :

∫ 2 3 1 x x 2 - 4 d x = lim t → 2 ⁺ ⁡ ∫ t 3 1 x x 2 - 4 d x

E para calcular a segunda integral vamos usar a Definição de uma Integral Imprópria do Tipo 1:

∫ 3 ∞ 1 x x 2 - 4 d x = lim t → ∞ ⁡ ∫ 3 t 1 x x 2 - 4 d x

Passo 2

Bem, para achar o valor dessa integral vamos calcular a integral indefinida dela e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração.

Vamos fazer uma Substituição:

x = 2 sec ⁡ θ → θ = sec - 1 ⁡ x 2

Derivando:

d x = 2 sec ⁡ θ tg ⁡ θ d θ

Substituindo temos:

∫ 1 x x 2 - 4 d x = ∫ 1 2 sec ⁡ θ 2 sec ⁡ θ 2 - 4 2 sec ⁡ θ tg ⁡ θ d θ = ∫ 2 sec ⁡ θ tg ⁡ θ 2 sec ⁡ θ 4 sec 2 ⁡ θ - 4 d θ = ∫ 2 sec ⁡ θ tg ⁡ θ 2 sec ⁡ θ 4 sec 2 ⁡ θ - 1 d θ = ∫ 2 sec ⁡ θ tg ⁡ θ 2 sec ⁡ θ 4 tg 2 ⁡ θ d θ = ∫ 2 sec ⁡ θ tg ⁡ θ 2 sec ⁡ θ 2 tg ⁡ θ d θ = ∫ 1 2 d θ

É fácil achar as primitivas da função, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ k d x = k x + C

Vamos agora calcular:

∫ 1 2 d θ = 1 2 θ + C = 1 2 sec - 1 ⁡ x 2 + C

Passo 3

Pronto, já encontramos a integral indefinida. Perceba que nem seria necessário colocar a constante de integração nesse caso, pois a gente usou a integral indefinida mais como uma ferramenta para calcular a integral. Agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

∫ a b f x d x = F b - F a

Vamos voltar agora a expressão original:

∫ 2 ∞ 1 x x 2 - 4 d x = ∫ 2 3 1 x x 2 - 4 d x + ∫ 3 ∞ 1 x x 2 - 4 d x = lim t → 2 ⁺ ⁡ ∫ t 3 1 x x 2 - 4 d x + lim t → ∞ ⁡ ∫ 3 t 1 x x 2 - 4 d x = lim t → 2 ⁺ ⁡ 1 2 sec - 1 ⁡ x 2 t 3 + lim t → ∞ ⁡ 1 2 sec - 1 ⁡ x 2 3 t = lim t → 2 ⁺ ⁡ 1 2 sec - 1 ⁡ 3 2 - 1 2 sec - 1 ⁡ t 2 + lim t → ∞ ⁡ 1 2 sec - 1 ⁡ t 2 - 1 2 sec - 1 ⁡ 3 2 = 1 2 sec - 1 ⁡ 3 2 - 0 + 1 2 π 2 - 1 2 sec - 1 ⁡ 3 2 = π 4

Resposta

∫ 2 ∞ 1 x x 2 - 4 d x = π 4

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Calcule ∫ 0 1 1 xd x
Calcule ∫ 0 1 1 1 - x 2d x
Calcule ∫ 0 1 ln ⁡ xd x
Calcule ∫ 0 1 1 x 3d x
1. Calculec) ∫ 1 3 x 2 x 3 - 1 d x