8. Ache a área do gráfico da região limitada pelo gráfico de equação r = e^θ de pelas retas θ = 0 até θ = 1.

Passo 1

O enunciado nos da a equação de um gráfico e pede para determinarmos a área. Para isso, primeiro é ideal fazer o esboço do gráfico da equação dada para observar quais são os limites de θ .Porém, como já me foi dado os valores de θ , basta subtituilos na equação para encontrar os pontos de inicio e final dados em coordenadas polares.

Após fazer o esboço da equação , podemos utilizar o que foi mostrado ao longo da seção quando queremos saber a área de uma região dada em coordenadas polares, que nos diz que para calcular a mesma podemos utilizar que a área da região é : A = 1 2 . ∫ α β f θ 2 d θ .

Em muitos problemas também podemos utilizar o conceito de simetria.

Passo 2

Substituindo os valores de θ   dados no enunciado temos que o ponto de inicio da curva é 1,0   e o ponto final é e , 1 . Logo temos que os limites de θ são de 0 até 1.

Passo 3

Sendo assim, a área é:

A = 1 2 . ∫ α β f θ 2 d θ = ( 1 2 ∫ 0 1 e θ 2 d θ ) = 1 2 ∫ 0 1 e 2 θ d θ = 1 4 . e 2 θ 0 1 = 1 4 e 2 - 1

Resposta

A = 1 4 e 2 - 1

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