Escreva uma equação polar de uma cônica com o foco na origem e com os dados fornecidos.

Hiperbólica e excêntrica = 7 / 4, diretriz y = 6

Passo 1

Opa!! Belezinha?? Bom... o enunciado quer que a gente elabore uma equação polar de uma cônica com foco na origem.

Para isso, ele nos forneceu os seguintes dados:

  1. Trata-se de uma hipérbole;
  2. Tem excentricidade 7 4 ;
  3. Tem diretriz em y = 6 .

Para isso, lembre-se que as formas possíveis pra se escrever uma cônica são:

r = e d 1 ± e cos ⁡ θ       o u       r = e d 1 ± e   s e n   θ

E o que determina qual fórmula usar? Bom... se a diretriz é paralela ao eixo x , ou seja, se a equação da reta é y = ±   c o n s t a n t e , então usamos a fórmula com seno;

e se for paralela ao eixo y , ou x = ±   c o n s t a n t e , usamos a fórmula com cosseno.

Se a diretriz estiver na parte positiva (geralmente à direita do eixo y ou acima do eixo x ), o sinal escolhido é o positivo; do contrário, é negativo.

Pra você lembrar, uma dica é associar y ao s e n   θ porque, em coordenadas polares, y = r   s e n   θ .

Por outro lado, vamos associar x ao cos ⁡ θ porque x = r cos ⁡ θ .

Então, se aparecer y na equação da reta, então aparece s e n   θ na fórmula; e se aparecer x , então a fórmula é com cos ⁡ θ .

E se aparecer o sinal negativo na equação da diretriz ( y = - c o n s t a n t e ), então também aparece na equação polar.

Passo 2

No nosso caso, a diretriz é y = 6 , ou seja, ela é paralela ao eixo x (ou se preferir, apareceu y na equação da reta então associamos isso a s e n   θ na fórmula).

Além disso, ela está na parte positiva, pois 6 > 0 . Então nossa fórmula deve ser:

r = e d 1 + e   s e n   θ

Passo 3

Show! Agora é só substituir as constantes fornecidas na equação. Sabemos que:

e = 7 4

d = 6

Assim, substituindo na equação, temos:

r = 7 4 ⋅ 6 1 + 7 4   s e n   θ ∴

r = 42 4 + 7   s e n   θ

Resposta

r = 42 4 + 7   s e n   θ

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