Escreva uma equação polar de uma cônica com o foco na origem e com os dados fornecidos.

Elicitricidade 0,8, vertice (1, π/2)

Passo 1

Beleza, galera? Bora achar uma equação polar pra essa elipse?

A gente precisa escrever uma equação na forma polar, de uma curva cônica, que nesse caso é a elipse, com uma excentricidade de 0.8 e vértice de 1 , π 2 .

As possíveis fórmulas cônicas para elipses são essas:

r = e d 1 ± e cos ⁡ θ   ; r = e d 1 ± e   s e n   θ

Onde e é a excentricidade. Se e < 1 a gente tem uma cônica. E d é a diretriz.

As figuras abaixo nos ajudam a escolher qual equação a gente utiliza em determinada situação:

Se soubéssemos a equação da reta diretriz, poderíamos determinar qual dessas fórmulas usar. Mas, não sabemos, só temos a excentricidade, o vértice e o foco (na origem).

Uma informação que ele nos deu foi a localização do vértice, mas em coordenadas polares. Vamos passar pra coordenadas retangulares:

x = r cos ⁡ θ = 1 cos ⁡ π 2 = 0

y = r   s e n   θ = 1   s e n π 2 = 1

Então temos a nova informação de que um dos vértices está no ponto 0 ,   1 , mas como usaremos isso?

Passo 2

Repare que tanto um dos focos 0 ,   0 como um dos vértices ( 0 ,   1 ) estão no eixo y , o que significa que o eixo maior da elipse é vertical.

Quando isso acontece, nós usamos a fórmula com s e n   θ , e é interessante que você guarde isso na memória.

Talvez o esqueminha a seguir te ajude a guardar isso:

Elipse com eixo maior vertical temos que o eixo y :

y = r sin ⁡ θ

Utilizamos a fórmula com o seno.

Já a elipse com o eixo maior na horizontal temos que o eixo x :

x = r cos ⁡ θ

Utilizamos então a fórmula com o cosseno.

Voltando ao nosso caso, nossa equação vai ser do tipo:

r = e d 1 ± e   s e n   θ

Como temos as coordenadas polares do vértice, podemos substituir esses valores pra encontrar o valor de d , já que sabemos que e = 0,8 , beleza?

r ,   θ = 1 , π 2

  1 = 0,8   d 1 ± 0,8   s e n π 2

0,8   d = 1 ± 0,8

Temos então que:

d = 1,8 0,8   ; d = 0,2 0,8

Então o nosso d :

d = 2,25   ; d = 0,25

Passo 3

Você pode estar achando estranho termos chegado a dois resultados diferentes para d , né?

Mas nesse caso, é bem razoável, pois apenas um foco e um vértice não determinam completamente uma elipse, precisaríamos de mais um vértice ou mais um foco para tal.

Então as possíveis equações ficarão assim, substituindo seus respectivos valores de d :

r = 0,8   .   2,25 1 + 0,8 sen ⁡ θ   ;   r = 0,8   .   0,25 1 - 0,8   s e n   θ

r = 1,8 1 + 0,8 sen ⁡ θ   ;   r = 0,2 1 - 0,8   s e n   θ

r = 9 5 + 4 sen ⁡ θ   ;   r = 1 5 - 4   s e n   θ

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Resposta

r = 9 5 + 4 sen ⁡ θ   ;   r = 1 5 - 4   s e n   θ

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