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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 10.6 - Ex. 7

Escreva uma equação polar de uma cônica com o foco na origem e com os dados fornecidos.

E l i p s e ,           e x c e n t r i c i d a d e   1 2   ,           d i r e t r i z   r = 4 sec ⁡ θ

Passo 1

Olá, meu amigo. Vamos resolver mais uma atividade?!

Veja que temos aqui que escrever na forma polar a equação de uma elipse com excentricidade e = 1 2 e diretriz r = 4 sec ⁡ θ .

As equações das cônicas polares dependem da diretriz, precisamos primeiro então avaliar a diretriz em coordenadas cartesianas para podermos avaliar qual equação utilizar, veja abaixo a figura para lhe ajudar melhor:

Depois de passarmos para coordenadas cartesianas e escolhermos nossa equação, fica mais tranquilo encontrar nossa equação polar.

Passo 2

Vamos então dar continuidade a resolução:

r = 4 sec ⁡ θ

r = 4   1 cos ⁡ θ

A relação entre coordenadas cartesianas e polares segue como:

x = r cos ⁡ θ

Então:

r cos ⁡ θ = 4

x = 4

Show! Agora que a gente sabe como é a reta diretriz, podemos escrever como fica a equação polar geral pra cônicas desse tipo:

r = e d 1 + e cos ⁡ θ

Bora substituir os valores?

e = 1 2

d = 4

r = 1 2 ⋅   4 1 + 1 2 cos ⁡ θ

r = 4 2 + cos ⁡ θ

Show?

Resposta

r = 4 2 + cos ⁡ θ

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