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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.4 - Ex. 22

Represente graficamente a equação seguindo os passos do procedimento para construção de gráficos da página 237. Inclua as coordenadas de quaisquer pontos extremos e absolutos locais e pontos de inflexão.

y = x x 2 - 5 4

Passo 1

Primeiramente, vemos que a função é um polinômio, logo seu domínio é R .

Vamos calcular a derivada primeira e segunda da função:

y ' = x 2 - 5 4 + 4 x x 2 - 5 3 1 2 = x 2 - 5 3 5 x 2 - 5

y ' ' = 3 x 2 - 5 2 1 2 5 x 2 - 5 + x 2 - 5 3 5 2 = x 2 - 5 2   ( 5 x - 20 )

Passo 2

Vamos encontrar os pontos críticos agora, que são onde a derivada é zero.

y ' = x 2 - 5 3 5 x 2 - 5 = 0  

x 2 - 5 3 = 0 → x 2 - 5 = 0 → x 2 = 5 = x = 10

5 x 2 - 5 = 0 → 5 x 2 = 5 → x = 2

E pelo teste da derivada segunda, y ' ' 10 = 0 , e y ' ' 2 =   - 48 < 0   .

Então, temos um ponto máximo em 2 ,   y 2 = ( 2 ,   512 )

Passo 3

Vamos agora ver os intervalos de crescimento da função.

y ' =   x 2 - 5 3 5 x 2 - 5

Sabemos que a função resulta em zero quando x = 10 e x =   2 . Vejamos então...

Então, a função é crescente em - ∞ , 2   e ( 10 , ∞ ) e decrescente em ( 2,10 )   .

Vejamos a concavidade...

Nossa derivada deu y ' ' = x 2 - 5 2 ( 5 x - 20 ) então y ' ' = 0 → x = 10   e   x = 4   ...

Então, a concavidade é para cima em 4,10 e 1 0 , ∞ e para baixo em - ∞ , 4

O ponto de inflexão então é: (4, 324)

Passo 4

Podemos encontrar facilmente ainda o ponto onde a função corta os eixos coordenados:

  • Corta o eixo y em: x = 0 :

    • y 0 =   0 0 2 - 5 4 = 0

    Ponto ( 0,0 ) .

  • Corta o eixo x em: x x 2 - 5 = 0 → x = 0   e   x = 10

Pontos: 0,0 ,   ( 10 , 0 )

Passo 5

Juntando as informações, temos o gráfico:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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