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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.4 - Ex. 20

Represente graficamente a equação seguindo os passos do procedimento para construção de gráficos da página 237. Inclua as coordenadas de quaisquer pontos extremos e absolutos locais e pontos de inflexão.

y = x 4 + 2 x 3 = x 3 x + 2

Passo 1

Primeiramente, vemos que a função é um polinômio, logo seu domínio é R .

Vamos calcular a derivada primeira e segunda da função:

y ' = 4 x 3 + 6 x 2 = 2 x 2 ( 2 x + 3 )

y ' ' = 12 x 2 + 12 x = 12 x ( x + 1 )

Passo 2

Vamos encontrar os pontos críticos agora, que são onde a derivada é zero.

y ' = 2 x 2 ( 2 x + 3 ) = 0  

2 x 2 = 0 → x = 0

2 x + 3 = 0 → x = - 3 2

E pelo teste da derivada segunda, y ' ' 0 = 0 , e y ' ' - 3 2 =   9 > 0   .

Então, temos um ponto mínimo em - 3 2 ,   y - 3 2 = - 3 2 ,   - 27 16

Passo 3

Vamos agora ver os intervalos de crescimento da função.

y ' =   2 x 2 ( 2 x + 3 )

Sabemos que a função resulta em zero quando x = 0 e x =   - 3 2 . Vejamos então...

Então, a função é crescente em ( - 3 2 ,   0 ) e ( 0 ,   ∞ ) e decrescente em ( - ∞ ,   - 3 2 )   .

Vejamos a concavidade...

Nossa derivada deu y ' ' = 12 x ( x + 1 ) , então y ' ' = 0 → x = 0   e   x = - 1 ...

- ∞ ,   - 1 e 0 , ∞ e para baixo em - 1,0

Os pontos de inflexão então são: - 1 ,   - 1 e   0,0 .

Passo 4

Podemos encontrar facilmente ainda o ponto onde a função corta os eixos coordenados:

  • Corta o eixo y em: x = 0 :

    • y 0 =   0 4 + 2 0 3 = 0

    Ponto ( 0,0 ) .

  • Corta o eixo x em: x 3 x + 2 = 0 → x = 0   o u   x =   - 2

Pontos: 0,0 ,   ( - 2,0 )

Passo 5

Juntando as informações, temos o gráfico:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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