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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.4 - Ex. 28

Represente graficamente a equação seguindo os passos do procedimento para construção de gráficos da página 237. Inclua as coordenadas de quaisquer pontos extremos e absolutos locais e pontos de inflexão.

y = cos ⁡ x + 3   s e n   x     ,   0 ≤ x ≤ 2 π

Passo 1

Primeiramente, vejamos que o domínio da função está restrito ao intervalo de 0 , 2 π

Então, vamos calcular a derivada primeira e segunda da função:

y ' =   - s e n   x + 3 cos ⁡ x  

y ' ' =   - cos ⁡ x - 3   s e n   x

Passo 2

Vamos encontrar os pontos críticos agora, que são onde a derivada é zero.

y ' = 0 → s e n   x = 3 cos ⁡ x   → s e n   x cos ⁡ x = 3 → t g   x = 3

x = π 3   e   x = 4 π 3

Esses são os valores para pontos críticos que estão no intervalo pedido.

E pelo teste da derivada segunda, y ' ' π 3 =   - 2 < 0 e y ' ' 4 π 3 = 2 > 0

Temos então um ponto de máximo em π 3 e um ponto de mínimo em 4 π 3 .

Vamos testar também os valores dos extremos do intervalo na função:

y 0 = 1

y 2 π = 1

Temos então os pontos 0,1 e   ( 2 π ,   1 ) no nosso gráfico.

Passo 3

Vamos agora ver os intervalos de crescimento da função.

  y ' = - s e n   x + 3 cos ⁡ x  

Vamos testar os valores encontrados no passo anterior:

Então, a função é crescente em 0 , π 3 e ( 4 π 3 ,   2 π ) decrescente em π 3 , 4 π 3 . Vejamos a concavidade...

Nossa derivada segunda deu y ' ' =   - cos ⁡ x - 3   s e n   x .

Veja que: - cos ⁡ x = 3 s e n   x → c o t g   x =   - 3 → x = 5 π 6 e   x = 11 π 6

Então, a concavidade do gráfico será para cima em 5 π 6 , 11 π 6 e para baixo em 0,5 π 6   e   ( 11 π 6 ,   2 π ) .

Passo 4

Juntando as informações, temos o gráfico:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Esboce o gráfico da função racional:y = (4 x)/(x^2 + 4)
A figura a seguir mostra uma parte do gráfico de uma função duas vezes derivável y = f ( x ) . Em cada um dos cinco pontos marcados, classifique y ' e y ' ' como positiva, negativa ou nula.