Vamos começar olharando as assíntotas:

Vamos começar pela assíntota horizontal.

Assíntota horizontal: fazer o limite no infinito. Ou seja,

Vamos calcular esses limites. Primeiro:

Como é temos que pegar a expressão para valores maiores que

Vai ficar:

Então não temos assíntota horizontal desse lado.

O outro vai ser:

A expressão para o vai ser igual, isso porque temos que pegar os valores mais negativos, ou seja, menores que

Vai ficar:

Então não temos assíntota horizontal desse lado.

Agora vamos para as assíntotas oblíquas. Só vamos fazer essas assíntotas se não existirem as horizontais. Elas substituem as horizontais por cada lado.

Se as assíntotas horizontais não existirem, talvez existir a oblíqua. Para isso, devemos achar os coeficientes e de que é a equação da assíntota obliqua.

Para isso, devemos fazer

Se esse valor existir, aí fazemos

Mesma coisa para o

Se esse valor existir, aí fazemos

Aqui, como temos polinômios dos dois lados, podemos achar a derivada só derivando cada expressão.

Vamos achar o limite para ver se existe . Primeiro para

Opa, não apareceu desse lado. Temos que olhar do outro agora

Também não tem, então essa função não tem assíntotas oblíquas.

Vamos para as verticais. Para isso, temos que procurar algum valor de que faça o limite ir para . Normalmente procuramos quando o denominador da fração for . Mas no caso dos polinômios isso não vai existir.

Então quando estivermos trabalhando com polinômios não vamos ter assíntotas verticais.

Vamos aos extremos e os intervalos de crescimento e decrescimento. Para isso temos que analisar o sinal de .

Antes de qualquer coisa, vamos verificar se a derivada existe em e , que é o ponto de mudança da expressão. Porque se der diferente ali, como a derivad na verdade é um limite, teremos que considerar que não existe derivada, mesmo que exista a função.

Primeiro com

é a derivada pela esquerda:

é a derivada pela esquerda:

Deram diferentes, então a derivada não existe

Agora com

é a derivada pela esquerda:

é a derivada pela esquerda:

Deram diferentes, então a derivada não existe

Isso nos diz que nossa derivada vai ser:

Excluindo os dois pontos

Vamos analisar o sinal agora:

Rpeare que nos dois intervalos a derivada depende diretamente só do sinal de .

No primeiro, : quando for positivo, a derivada vai ser negariva por conta do na frente. E quando ele for negativo, a derivada vai ser positiva.

No outro intervalo, ou a função depende só de , então quando ele for negativa, a função vai ser também, assim como no positivo:

Juntando tudo

A função é crescente se e decrescente se , então:

Agora vamos ver os extremos. Pelo teste da primeira derivada, teremos máximo quando a função vai de crescente para decrescente, e mínimo quando a função for de decrescente para crescente.

Pelos intervalos do passo anterior, vamos ter

Vamos agora para a concavidade e os pontos de inflexão. A função é côncava para cima se e côncava para baixo se .

O ponto vai ser de inflexão quando muda a concavidade.

De novo, para derivada basta derivarmos a expressão direto de novo.

Os sinais saem direto dos próprios intervalos da função.

A concavidade vai ser:

Isso nos diz que os pontos de inflexão são:

Porque é onde muda a concavidade.

Para terminar vamos ao esboço. Para isso, precisamos juntar todas as informações.

• Não possui assíntotas;
• pontos criticos

Vamos para o gráfico, ele vai ficar assim:



Resposta

• Não possui assíntotas;
• pontos criticos

Vamos para o gráfico, ele vai ficar assim: