Enunciado
Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.4 - Ex. 96
Esboce o gráfico da função racional:
Passo 1
Primeiramente, vemos que o domínio da função é (não pode zerar o denominador)
Podemos resolver isso derivando direto, ou simplificando primeiro. Vamos simplificar. Se dividirmos por (divisão de polinômio hein...) encontramos quociente
e resto 1. Então, podemos reescrever nossa função como:
Ficou mais fácil né? Vamos continuar...
Passo 2
Agora a gente encontra a derivada primeira e segunda...
Vamos encontrar os pontos críticos agora, que são onde a derivada é zero.
Pelo teste da derivada segunda: e
Então, temos um ponto máximo em e um ponto mínimo
Passo 3
Vamos agora ver os intervalos de crescimento da função.
Sabemos que a função resulta em zero quando e e não está definida em .
Vejamos então...
Então, a função é crescente em e decrescente em (e .
Vejamos a concavidade...
Nossa derivada deu , então vamos analisar o sinal nos intervalos anteriores:
Então, a concavidade é para baixo em e para cima em
A função muda a concavidade em , porém não temos um ponto no local já que ele não pertence ao domínio.
Vamos ter uma assíntota vertical em .
Passo 4
Podemos encontrar ainda os pontos onde a função corta os eixos coordenados:
- Corta o eixo y em:
A função não corta o eixo x, pois a função não possui raízes reais (discriminante negativo)
Passo 5
Juntando as informações, temos o gráfico:
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)