Esboce o gráfico da função racional:y = (x)/(x^2 - 1)

Enunciado

Primeiramente, vemos que o domínio da função é (não pode zerar o denominador)

Vamos calcular a derivada primeira e segunda:

Vamos encontrar os pontos críticos agora, que são onde a derivada é zero.

Então, a função não apresenta extremos relativos e absolutos.

Veja que a função não está definida para e , mas está definida em todos os pontos próximos a esses. Com isso, temos assíntotas verticais em .

Vamos agora ver os intervalos de crescimento da função.

Vimos que a função não apresenta pontos críticos, mas possui assíntotas, então vamos analisar o sinal da derivada antes e depois das assíntotas:

Então, a função é sempre decrescente.

Vejamos a concavidade...

Nossa derivada segunda deu

Vemos que :

Então, a concavidade é para baixo em e para cima em e

A função muda a concavidade em , porém não temos pontos no local já que eles não pertencem ao domínio. Temos um ponto de inflexão em .

Juntando as informações, temos o gráfico:

Ei, a resposta está no passo a passo :)