Enunciado
Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.4 - Ex. 102
Esboce o gráfico da função racional:
Passo 1
Primeiramente, vemos que o domínio da função é , já que o denominador nunca vai zerar.
Vamos calcular a derivada primeira e segunda:
Passo 2
Vamos encontrar os pontos críticos agora, que são onde a derivada é zero.
E pelo teste da derivada segunda, temos:
e
Então, temos um ponto de máximo em , e um ponto de mínimo em dados pelos pontos .
Passo 3
Vamos agora ver os intervalos de crescimento da função.
Veja que: (pois o denominador nesse caso é sempre positivo)
Então, a função é crescente em e decrescente em e
Vejamos a concavidade...
Nossa derivada segunda deu
Novamente, o denominador vai ser sempre positivo, então vamos analisar o numerador:
Então, a concavidade é para baixo em e para cima em .
Além disso, a função é negativa quando , então antes de zero ela fica abaixo do eixo x, e depois do zero ela fica acima do eixo x.
Passo 4
Juntando as informações, temos o gráfico:
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)