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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.4 - Ex. 101

Esboce o gráfico da função racional:

y = (8)/(x^2 + 4)

Passo 1

Primeiramente, vemos que o domínio da função é R , já que o denominador nunca vai zerar.

Vamos calcular a derivada primeira e segunda:

y^' = (- 2 x (8))/((x^2 + 4)^2) = - (16 x)/((x^2 + 4)^2)

y^(' ') = (- 16 (x^2 + 4)^2 - 2 (x^2 + 4) 2 x (- 16 x))/((x^2 + 4)^4) = (- 16 (x^2 + 4) - 4 x (- 16 x))/((x^2 + 4)^3) = (- 16 x^2 - 64 + 64 x^2)/((x^2 + 4)^3) = (48 x^2 - 64)/((x^2 + 4)^3)

Passo 2

Vamos encontrar os pontos críticos agora, que são onde a derivada é zero.

y^' = - (16 x)/((x^2 + 4)^2) = 0 -> 16 x = 0 -> x = 0

E pelo teste da derivada segunda, temos:

y^(' ') (0) = - 1 < 0

Então, temos um ponto de máximo em x = 0 , dado pelo ponto ( 0,2 )

Passo 3

Vamos agora ver os intervalos de crescimento da função.

Veja que: - (16 x)/((x^2 + 4)^2) > 0 -> - 16 x > 0 (pois o denominador nesse caso é sempre positivo)

- 16 x > 0 -> 16 x < 0 -> x < 0

Então, a função é crescente em ( - oo , 0 ) e decrescente em ( 0 , oo ) .

Vejamos a concavidade...

Nossa derivada segunda deu y^(' ') = (48 x^2 - 64)/((x^2 + 4)^3)

Novamente, o denominador vai ser sempre positivo, então vamos analisar o numerador:

48 x^2 - 64 > 0 -> 48 x^2 > 64 -> x^2 > (64)/(48) -> x^2 > (4)/(3) -> x > (4)/(3) e x < - (4)/(3)

Então, a concavidade é para cima em (- oo , - (4)/(3)) e ( (4)/(3) , oo ) para baixo em (- (4)/(3) , (4)/(3))

A função muda a concavidade em x = +- (4)/(3) .

Além disso, a função y = (8)/(x^2 + 4) nunca vai ser negativa, então o gráfico sempre estará acima do eixo x.

Passo 4

Juntando as informações, temos o gráfico:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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