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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.7 - Ex. 31

Ache as assíntotas horizontal e vertical do gráfico de f , determinando o seguinte:

Os extremos relativos de f ;

Os pontos de inflexão do gráfico de f ;

Os intervalos em que f é crescente

Os intervalos em que f é decrescente;

Onde o gráfico é côncavo para cima;

Onde o gráfico é côncavo para baixo;

A inclinação de qualquer tangente de inflexão;

As assíntotas horizontal, vertical e oblíqua, se existirem

f x = 3 cos ⁡ 2 x ,     x ∈ - π , π

Passo 1

Vamos começar olharando as assíntotas:

Vamos começar pela assíntota horizontal.

Assíntota horizontal: fazer o limite no infinito. Ou seja,

lim x → + ∞ ⁡ f x

lim x → - ∞ ⁡ f x

Como a nossa função tem apenas consseno, já podemos direto dizer que não vai ter limite.

Isso porque o cosseno é uma função que fica oscilando entre 1 e - 1 , mas não tende a nenhum valor.

Então ele não tem assíntota horizontal.

Passo 2

Agora vamos para as assíntotas oblíquas. Só vamos fazer essas assíntotas se não existirem as horizontais. Elas substituem as horizontais por cada lado.

Se as assíntotas horizontais não existirem, talvez existir a oblíqua. Para isso, devemos achar os coeficientes a e b de y = a x + b que é a equação da assíntota obliqua.

Para isso, devemos fazer

a = lim x → + ∞ ⁡ f ' x

Se esse valor existir, aí fazemos

b = lim x → + ∞ ⁡ f x - a x

Mesma coisa para o - ∞

a = lim x → - ∞ ⁡ f ' x

Se esse valor existir, aí fazemos

b = lim x → - ∞ ⁡ f x - a x

Aqui a derivada vai ficar

f ' x = - 6 sen ⁡ 2 x

E chegamos em uma função seno, que tem a mesma parada que o cosseno que falamos no passo anterior.

Então esses limites não vão existir e não teremos assíntotas olíquas.

Passo 3

Vamos para as verticais. Para isso, temos que procurar algum valor de x que faça o limite ir para ∞ . Normalmente procuramos quando o denominador da fração for 0 . Mas no caso de seno ou cosse isso não vai existir.

Passo 4

Vamos aos extremos e os intervalos de crescimento e decrescimento. Para isso temos que analisar o sinal de f ' x .

f ' x = - 6 sen ⁡ 2 x

Lembrando que ele limitou o x entre - π e π .

O seno vai ser positivo entre 0 e π , e negativo entre π e 2 π e qualquer soma de 2 π . Já que são periódicos.

Então

sen ⁡ θ > 0 ⟷ θ ∈ 0 , π + 2 k π

sen ⁡ θ < 0 ⟷ θ ∈ π , 2 π + 2 k π

Mas a função que temos é sen ⁡ 2 x , então vamos fazer:

θ = 2 x

Encontrando

sen ⁡ 2 x > 0 ⟷ 2 x ∈ 0 , π + 2 k π

sen ⁡ 2 x < 0 ⟷ 2 x ∈ π , 2 π + 2 k π

Podemos dividir por 2 os intervalos de x

sen ⁡ 2 x > 0 ⟷ x ∈ 0 , π 2 + k π

sen ⁡ 2 x < 0 ⟷ x ∈ π 2 , π + k π

Isso com k inteiro. O nosso intervalo fica limitado entre - π e π .

Se pegarmos k = 0 temos

sen ⁡ 2 x > 0 ⟷ x ∈ 0 , π 2

sen ⁡ 2 x < 0 ⟷ x ∈ π 2 , π

Que vai só de 0 a π . Falta o outro lado

Vamos pegar k = - 1

sen ⁡ 2 x > 0 ⟷ x ∈ 0 , π 2 - π

sen ⁡ 2 x < 0 ⟷ x ∈ π 2 , π - π

Arrumando o intervalo

sen ⁡ 2 x > 0 ⟷ x ∈ - π , - π 2

sen ⁡ 2 x < 0 ⟷ x ∈ - π 2 , 0

Reunindo todos os intervalos:

sen ⁡ 2 x > 0 ⟷ x ∈ 0 , π 2

sen ⁡ 2 x < 0 ⟷ x ∈ π 2 , π

sen ⁡ 2 x > 0 ⟷ x ∈ - π , - π 2

sen ⁡ 2 x < 0 ⟷ x ∈ - π 2 , 0

Juntando as partes positivas e negativas

sen ⁡ 2 x > 0 ⟷ x ∈ - π , - π 2 ∪ 0 , π 2

sen ⁡ 2 x < 0 ⟷ x ∈ - π 2 , 0 ∪ π 2 , π

Agora vamos multiplica a expressão do seno por - 6 para chegar na nossa derivada

- 6 sen ⁡ 2 x < 0 ⟷ x ∈ - π , - π 2 ∪ 0 , π 2

- 6 sen ⁡ 2 x > 0 ⟷ x ∈ - π 2 , 0 ∪ π 2 , π

Vamos teminar com

f ' x < 0 ⟷ x ∈ - π , - π 2 ∪ 0 , π 2

f ' x > 0 ⟷ x ∈ - π 2 , 0 ∪ π 2 , π

Quando estivermos trabalhando com mais de um intervalo, basta colocar aquele símbolo de união para deixar tudo bonitinho.

A função é crescente se f ' x > 0 e decrescente se f ' x < 0 , então:

D e c r e s c e n t e ⟷ x ∈ - π , - π 2 ∪ 0 , π 2

C r e s c e n t e ⟷ x ∈ - π 2 , 0 ∪ π 2 , π

Passo 5

Agora vamos ver os extremos. Pelo teste da primeira derivada, teremos máximo quando a função vai de crescente para decrescente, e mínimo quando a função for de decrescente para crescente.

Pelos intervalos do passo anterior, vamos ter

x = 0 → m á x i m o

x = - π 2 ,     x = π 2 → m í n i m o

Passo 6

Vamos agora para a concavidade e os pontos de inflexão. A função é côncava para cima se f ' ' x > 0 e côncava para baixo se f ' ' x < 0 .

f ' ' x = - 12 cos ⁡ 2 x

O ponto vai ser de inflexão quando muda a concavidade.

O cosseno vai ser positivo entre - π 2 e π 2 , e negativo entre π 2 e 3 π 2 e qualquer soma de 2 π . Já que são periódicos.

Então

cos ⁡ θ > 0 ⟷ θ ∈ - π 2 , π 2 + 2 k π

cos ⁡ θ < 0 ⟷ θ ∈ π 2 , 3 π 2 + 2 k π

Mas a função que temos é cos ⁡ 2 x , então vamos fazer:

θ = 2 x

Encontrando

cos ⁡ 2 x > 0 ⟷ 2 x ∈ - π 2 , π 2 + 2 k π

cos ⁡ 2 x < 0 ⟷ 2 x ∈ π 2 , 3 π 2 + 2 k π

Podemos dividir por 2 os intervalos de x

cos ⁡ 2 x > 0 ⟷ x ∈ - π 4 , π 4 + k π

cos ⁡ 2 x < 0 ⟷ x ∈ π 4 , 3 π 4 + k π

Isso com k inteiro. O nosso intervalo fica limitado entre - π e π .

Se pegarmos k = 0 temos

cos ⁡ 2 x > 0 ⟷ x ∈ - π 4 , π 4

cos ⁡ 2 x < 0 ⟷ x ∈ π 4 , 3 π 4

Que vai só de - π 4 a 3 π 4 . Falta algumas partes, vamos pegar k = 1

cos ⁡ 2 x > 0 ⟷ x ∈ - π 4 , π 4 + π

cos ⁡ 2 x < 0 ⟷ x ∈ π 4 , 3 π 4 + π

Ficando com:

cos ⁡ 2 x > 0 ⟷ x ∈ 3 π 4 , 5 π 4

cos ⁡ 2 x < 0 ⟷ x ∈ 5 π 4 , 7 π 4

Como estamos limitados em - π e π , vamos pegsar só:

cos ⁡ 2 x > 0 ⟷ x ∈ 3 π 4 , π

Tudo depois nisso não importa.

Falta o outro lado

Vamos pegar k = - 1

cos ⁡ 2 x > 0 ⟷ x ∈ - π 4 , π 4 - π

cos ⁡ 2 x < 0 ⟷ x ∈ π 4 , 3 π 4 - π

Arrumando o intervalo

cos ⁡ 2 x > 0 ⟷ x ∈ - 5 π 4 , - 3 π 4

cos ⁡ 2 x < 0 ⟷ x ∈ - 3 π 4 , - π 4

Aqui vamos fazer aquele recote também. Pegando

cos ⁡ 2 x > 0 ⟷ x ∈ - π , - 3 π 4

cos ⁡ 2 x < 0 ⟷ x ∈ - 3 π 4 , - π 4

Reunindo todos os intervalos:

cos ⁡ 2 x > 0 ⟷ x ∈ - π , - 3 π 4

cos ⁡ 2 x < 0 ⟷ x ∈ - 3 π 4 , - π 4

cos ⁡ 2 x > 0 ⟷ x ∈ - π 4 , π 4

cos ⁡ 2 x < 0 ⟷ x ∈ π 4 , 3 π 4

cos ⁡ 2 x > 0 ⟷ x ∈ 3 π 4 , π

Juntando as partes positivas e negativas

cos ⁡ 2 x > 0 ⟷ x ∈ - π , - 3 π 4 ∪ - π 4 , π 4 ∪ 3 π 4 , π

cos ⁡ 2 x < 0 ⟷ x ∈ - 3 π 4 , - π 4 ∪ π 4 , 3 π 4

Passo 7

Agora vamos multiplica a expressão do cosseno por - 12 para chegar na nossa segunda derivada

- 12 cos ⁡ 2 x < 0 ⟷ x ∈ - π , - 3 π 4 ∪ - π 4 , π 4 ∪ 3 π 4 , π

- 12 cos ⁡ 2 x > 0 ⟷ x ∈ - 3 π 4 , - π 4 ∪ π 4 , 3 π 4

Vamos ter:

f ' ' x < 0 ⟷ x ∈ - π , - 3 π 4 ∪ - π 4 , π 4 ∪ 3 π 4 , π

f ' ' x > 0 ⟷ x ∈ - 3 π 4 , - π 4 ∪ π 4 , 3 π 4

Então:

x ∈ - π , - 3 π 4 ∪ - π 4 , π 4 ∪ 3 π 4 , π → c ô n c a v a   p a r a   b a i x o

x ∈ - 3 π 4 , - π 4 ∪ π 4 , 3 π 4 → c ô n c a v a   p a r a   c i m a

Isso nos diz que em:

x = - 3 π 4

x = - π 4

x = π 4

x = 3 π 4

f x muda de concavidade, então este são um ponto de inflexão.

Passo 8

Para terminar vamos ao esboço. Para isso, precisamos juntar todas as informações.

  • Não possui assíntotas;
  • D e c r e s c e n t e ⟷ x ∈ - π , - π 2 ∪ 0 , π 2
  • C r e s c e n t e ⟷ x ∈ - π 2 , 0 ∪ π 2 , π
  • x = 0 → m á x i m o
  • x = - π 2 ,     x = π 2 → m í n i m o
  • x ∈ - π , - 3 π 4 ∪ - π 4 , π 4 ∪ 3 π 4 , π → c ô n c a v a   p a r a   b a i x o
  • x ∈ - 3 π 4 , - π 4 ∪ π 4 , 3 π 4 → c ô n c a v a   p a r a   c i m a
  • x = - 3 π 4 , x = - π 4 , x = π 4 , x = 3 π 4 , ponto de inflexão

    • Ele pede també a tangente de inflexão que nada mais é que a derivada no ponto de inflexão

    f ' - 3 π 4 = - 6 sen ⁡ 2 - 3 π 4 = - 6 sen ⁡ - 3 π 2 = - 6.1 = - 6

    f ' - π 4 = - 6 sen ⁡ 2 - π 4 = - 6 sen ⁡ - π 2 = - 6 . - 1 = 6

    f ' π 4 = - 6 sen ⁡ 2 π 4 = - 6 sen ⁡ π 2 = - 6.1 = - 6

    f ' 3 π 4 = - 6 sen ⁡ 2 3 π 4 = - 6 sen ⁡ 3 π 2 = - 6 . - 1 = 6

    • Tangente de inflexão: f ' - 3 π 4 = - 6 , f ' - π 4 = 6 , f ' π 4 = - 6 , f ' 3 π 4 = 6

      • Vamos para o gráfico, ele vai ficar assim:

      Resposta

    • Não possui assíntotas;
    • D e c r e s c e n t e ⟷ x ∈ - π , - π 2 ∪ 0 , π 2
    • C r e s c e n t e ⟷ x ∈ - π 2 , 0 ∪ π 2 , π
    • x = 0 → m á x i m o
    • x = - π 2 ,     x = π 2 → m í n i m o
    • x ∈ - π , - 3 π 4 ∪ - π 4 , π 4 ∪ 3 π 4 , π → c ô n c a v a   p a r a   b a i x o
    • x ∈ - 3 π 4 , - π 4 ∪ π 4 , 3 π 4 → c ô n c a v a   p a r a   c i m a
    • x = - 3 π 4 , x = - π 4 , x = π 4 , x = 3 π 4 , ponto de inflexão
    • Tangente de inflexão: f ' - 3 π 4 = - 6 , f ' - π 4 = 6 , f ' π 4 = - 6 , f ' 3 π 4 = 6

    Vamos para o gráfico, ele vai ficar assim:

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