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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.4 - Ex. 116

  1. Determine as coordenadas do vértice da parábola

    2. y = a x 2 + b x + c         a ≠ 0

  2. Quando essa parábola é côncava para cima? E onde ela é côncava para baixo? Justifique sua resposta.

Passo 1

  1. O vértice da parábola é o ponto máximo ou mínimo dela, um ponto crítico.

    2. Sabemos que um ponto crítico é encontrado quando a derivada primeira é zero.

    Vamos derivar então:

    y ' = 2 a x + b

    (c é constante)

    Agora, igualando a zero...

    y ' = 2 a x + b = 0 → 2 a x = - b → x =   - b 2 a

    E substituindo na função, encontramos a outra coordenada:

    y - b 2 a = - b 2 - 4 a c 4 a

    O vértice então é: - b 2 a ,   - b 2 - 4 a c 4 a  

    Passo 2

  2. A concavidade é dada pela derivada segunda, vamos calcular...

y ' ' = 2 a

Bom, então a concavidade é para cima quando 2 a > 0 → a > 0 e para baixo quando 2 a < 0 → a < 0 .

Resposta

  1. - b 2 a ,   - b 2 - 4 a c 4 a  
  2. a concavidade é para cima quando 2 a > 0 → a > 0 e para baixo quando 2 a < 0 → a < 0 .
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