Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.7 - Ex. 34

Ache as assíntotas horizontal e vertical do gráfico de , determinando o seguinte:

Os extremos relativos de ;

Os pontos de inflexão do gráfico de ;

Os intervalos em que é crescente

Os intervalos em que é decrescente;

Onde o gráfico é côncavo para cima;

Onde o gráfico é côncavo para baixo;

A inclinação de qualquer tangente de inflexão;

As assíntotas horizontal, vertical e oblíqua, se existirem

Passo 1

Vamos começar olharando as assíntotas:

Vamos começar pela assíntota horizontal.

Assíntota horizontal: fazer o limite no infinito. Ou seja,

Como a nossa função tem apenas consseno, já podemos direto dizer que não vai ter limite.

Isso porque o cosseno é uma função que fica oscilando entre e , mas não tende a nenhum valor.

Então ele não tem assíntota horizontal.

Passo 2

Agora vamos para as assíntotas oblíquas. Só vamos fazer essas assíntotas se não existirem as horizontais. Elas substituem as horizontais por cada lado.

Se as assíntotas horizontais não existirem, talvez existir a oblíqua. Para isso, devemos achar os coeficientes e de que é a equação da assíntota obliqua.

Para isso, devemos fazer

Se esse valor existir, aí fazemos

Mesma coisa para o

Se esse valor existir, aí fazemos

Antes de derivar vamos abrir aquele cosseno para simplificar as contas

A nossa função vai ficar

Repara que temos duas funções contínuas, mas na troca ela vai ser contínua?

Opa, vai ser contínua. Como as duas funções são cosseno, então a nossa derivada vai ser direitinho pelos intervalos

Aqui a derivada vai ficar

E chegamos em uma função seno, que tem a mesma parada que o cosseno que falamos no passo anterior.

Então esses limites não vão existir e não teremos assíntotas olíquas.

Passo 3

Vamos para as verticais. Para isso, temos que procurar algum valor de que faça o limite ir para . Normalmente procuramos quando o denominador da fração for . Mas no caso de seno ou cosse isso não vai existir.

Passo 4

Vamos aos extremos e os intervalos de crescimento e decrescimento. Para isso temos que analisar o sinal de .

Vamos ao primeiro intervalo

O seno nesse intervalo vai ser sempre positivo, com aquele a expressão fica negativa.

No segundo intervalo:

Também temos o seno positivo. Então a função sempre será positiva.

Vamos teminar com

A função é crescente se e decrescente se , então:

Passo 5

Agora vamos ver os extremos. Pelo teste da primeira derivada, teremos máximo quando a função vai de crescente para decrescente, e mínimo quando a função for de decrescente para crescente.

A derivada muda de sinal em e a função é contínua nesse ponto, então ele vai ser mínimo