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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 10.2 - Ex. 10

Ache o centro, vértices, focos, extremidade do eixo menor da elipse dada. Faça um esboço da curva, mostrando os focos.

9 x 2 + 4 y 2 - 18 x + 16 y - 11 = 0

Passo 1

A questão pede para encontrar as principais características da elipse 9 x 2 + 4 y 2 - 18 x + 16 y - 11 = 0   . Note que agora temos termos de primeiro grau na equação. Desta forma, o vértice não estará na origem!

Precisamos completar quadrados. Para os termos com x :

9 x 2 - 18 x = 9 x 2 - 2 x = 9 x 2 - 2 x + 1 - 1 = 9 x - 1 2 - 9

Para os termos com y :

4 y 2 + 16 y = 4 y 2 + 4 y = 4 y 2 + 4 y + 4 - 4 = 4 y + 2 2 - 16

Assim, a equação da elipse ficará

9 x - 1 2 - 9 + 4 y + 2 2 - 16 - 11 = 0

Portanto,

9 x - 1 2 + 4 y + 2 2 = 36

Dividindo a equação por 36 :

9 x - 1 2 36 + 4 y + 2 2 36 = 1

Assim,

x - 1 2 4 + y + 2 2 9 = 1 ⇒ x - 1 2 2 2 + y + 2 2 3 2 = 1

Desta forma, vemos que o centro da elipse é

( 1 ,   - 2 )

Além disso, como 3 > 2 , o eixo maior da elipse é paralelo ao eixo y , com

a = 3           e             b = 2

Para achar os vértices, basta somar e subtrair 3 na coordenada y do centro:

1 ,   - 5             e             1 ,   1

Já para as extremidades do eixo menor, somamos e subtraímos 2 na coordenada x :

- 1 ,   - 2         e         ( 3 ,   - 2 )

Passo 2

Para acharmos os focos, temos que

a 2 = b 2 + c 2

Assim,

9 = 4 + c 2 ⇒ c 2 = 5 ⇒ c = 5

Para termos os focos, basta somar e subtrair 5 na coordenada y do centro:

1 ,   - 2 - 5         e         ( 1 ,   - 2 + 5 )

Passo 3

Um esboço da elipse é mostrado a seguir:

Resposta

Centro: ( 1 ,   - 2 )

Vértices: 1 ,   - 5     e       ( 1 ,   1 )

Extremidades do eixo menor: - 1 ,   - 2       e         3 ,   - 2

Focos: 1 ,   - 2 - √ 5       e       1 ,   - 2 + 5

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