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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 10.2 - Ex. 15

Ache o centro, vértices, focos, extremidade do eixo menor da elipse dada. Faça um esboço da curva, mostrando os focos.

3 x 2 + 5 y 2 - 6 x - 12 = 0

Passo 1

A questão pede para encontrar as principais características da elipse 3 x 2 + 5 y 2 - 6 x - 12 = 0   . Note que agora temos termos de primeiro grau na equação. Desta forma, o vértice não estará na origem!

Precisamos completar quadrados. Para os termos com x :

3 x 2 - 6 x = 3 x 2 - 2 x = 3 x 2 - 2 x + 1 - 1 = 3 x - 1 2 - 3

Como não tem nenhum termo de primeiro grau y não precisamos completar quadrado para essa variável!

Assim, a equação da elipse ficará

3 x - 1 2 + 5 y 2 - 3 - 12 = 0

Portanto,

3 x - 1 2 + 5 y 2 = 16

Dividindo a equação por 16 :

x - 1 2 16 3 + y 2 16 5 = 1 ⇒ x - 1 2 4 3 2 + y 2 4 5 2 = 1

Desta forma, vemos que o centro da elipse é

( 1 ,   0 )

Além disso, como 16 3 > 16 5 , o eixo maior da elipse é paralelo ao eixo x , com

a = 4 3           e             b = 4 5

Para achar os vértices, basta somar e subtrair a na coordenada x do centro:

1 - 4 3 ,   0             e             1 + 4 3 ,   0

Já para as extremidades do eixo menor, somamos e subtraímos b na coordenada y :

1 ,   - 4 5         e         1 , 4 5

Passo 2

Para acharmos os focos, temos que

a 2 = b 2 + c 2

Assim,

16 3 = 16 5 + c 2 ⇒ c 2 = 16 1 3 - 1 5 = 32 15 ⇒ c = 4 2 15

Para termos os focos, basta somar e subtrair c na coordenada x do centro:

1 - 4 2 15 ,   0         e         1 + 4 2 15 ,   0

Passo 3

Um esboço da elipse é mostrado a seguir:

Resposta

Centro: ( 1 ,   0 )

Vértices: 1 - 4 3 ,   0             e             1 + 4 3 ,   0

Extremidades do eixo menor: 1 ,   - 4 5         e         1 , 4 5

Focos: 1 - 4 2 15 ,   0         e         1 + 4 2 15 ,   0

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